Vorlesung 12: Modellierung B

Grundlagen Operations Research

Modellierung B

OR in der Praxis

Von der Theorie zur Praxis

Echte OR-Projekte und wie sie die Bausteine dieses Kurses nutzen:

Brauerei: Losgrößen- und Kapazitätsplanung (→ V11).
Verkaufsgebiete: Sales Force Deployment (→ V10).
Distriktoptimierung: Zuordnung von Gebieten (→ V08).
Discrete Choice: Nachfrageprognose mit Nutzenfunktionen.
Crowd-Management: Ablaufplanung von Pilgerströmen (→ V06/V09).
Weitere: Onlinehandel, Bibliotheken, Stadion, Metro.

Brauerei

Feldschlösschen

Das Projekt

Entwickelt für die Schweizer Brauerei Feldschlösschen, seit 2010 im Carlsberg-Konzern:

41 eigene Biermarken, 1,8 Mio. hl/Jahr, 42 % Marktanteil (Schweiz).
Für strategische Fragen (Sortiment, Investitionen) und operative (Losgrößen, Kapazitätseinsatz).
13 Produktions- und 8 Lagerressourcen.
220 Fertig- und 100 Halbfertigprodukte.
Jahresplanung auf Wochenebene.

Der Brauprozess

Prozessschema einer Brauerei mit den Stufen Sudhaus, Lagertank, Filtration, Drucktank, Abfüllung und Lager; darunter die Ressourcen je Stufe, etwa drei Filtrationslinien, vier Abfülllinien sowie Lager- und Drucktanks als Puffer dazwischen.

Brauen, Gären und Reifen, Filtrieren, Abfüllen.
Alkoholfreies Bier und Mischbier: zusätzlich Verdampfen und Mischen.
Tanks puffern zwischen den Stufen.

Das Modell

Strategische und operative Fragen in einem Modell:

Losgrößen- und Kapazitätsplanung, wie die dynamische Losgrößenplanung (Vorlesung 11), nur mehrstufig und kapazitiert.
Binäre Rüstentscheidungen, kontinuierliche Mengen und Lagerbestände.
Ziel: Rüst-, Lager- und Kapazitätskosten minimieren.

Ein MIP, in GAMS implementiert und mit CPLEX gelöst; für die volle Größe in der Heuristik Fix-and-Optimize (Vorlesung 11).

Die Idee im Kleinen

Zwei Produkte, gemeinsame Kapazität; das V11-Modell wächst mit:

using JuMP, HiGHS
d = [40 50 60 40 50 60; 20 30 20 30 20 30]     # d[p, t]
f, h, cap = 100, 1, 120
P, T = 1:2, 1:6
modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, Q[P, T] >= 0); @variable(modell, I[P, T] >= 0)
@variable(modell, X[P, T], Bin)
@objective(modell, Min, sum(f*X[p,t] + h*I[p,t] for p in P, t in T))
@constraint(modell, [p in P, t in T],
    (t == 1 ? 0 : I[p,t-1]) + Q[p,t] - I[p,t] == d[p,t])   # Lagerbilanz
@constraint(modell, [p in P, t in T], Q[p,t] <= sum(d[p,:]) * X[p,t])
@constraint(modell, [t in T], sum(Q[p,t] for p in P) <= cap)  # Kapazität!
optimize!(modell)
println("F* = ", round(Int, objective_value(modell)),
        " mit ", round(Int, sum(value.(X))), " Rüstvorgängen")

F* = 850 mit 6 Rüstvorgängen

Das Planungswerkzeug

Ein Entscheidungsunterstützungssystem in der Cloud:

Eingabe: Produkte, Ressourcen und Nachfrage, mit Prüfbericht zu Fehlern und Warnungen.
Optimierung: zentral auf einem Hochleistungsrechner, nahezu optimal in vertretbarer Rechenzeit.
Ausgabe: Losgrößen, Bestände und Kapazitäten, mit Kennzahlen wie Auslastung, Kosten, Rüstvorgängen und Lagerdauer.

Ergebnis

5 % weniger Betriebskosten und 40 % weniger Planungsaufwand.

Verkaufsgebiete

Sales Force Deployment

Für die dänische Brauerei FAXE: Wie setzt man den Außendienst optimal ein?

Vier Entscheidungen in einem Modell:

Wie viele Außendienstmitarbeiter (ADM)?
Wo haben sie ihren Standort?
Welche Kunden bilden ihr Verkaufsgebiet?
Wie viel Verkaufszeit erhält jeder Kunde?

Ziel: Gewinnmaximierung, nicht Umsatz!

Die Umsatzreaktionsfunktion

Umsatzreaktionsfunktion ohne Skala: Der Umsatz steigt mit der Verkaufszeit erst steil, dann immer flacher und nähert sich einer Obergrenze. Mehr Zeit bringt also immer weniger Zusatzumsatz; eine gestrichelte Senkrechte markiert eine Stelle im abflachenden Teil der Kurve.

Der Umsatz eines Kunden wächst mit der Verkaufszeit, aber konkav.

Frage: Warum lohnt der zehnte Besuch weniger als der erste?

Sättigung: Ab einem Punkt kostet mehr Verkaufszeit mehr, als der Zusatzumsatz einbringt.

Die Managementvorlage

Das Modell liefert dem Management drei Karten:

Gebiete und Gewinn: welcher ADM betreut welche Region.
Verkaufszeiten: wie viel Zeit jeder Kunde erhält.
Erwartete Umsätze: was jede Region einbringt.

Ergebnis

Standorte, Gebiete und Zeiteinsatz kommen aus einer Optimierung, statt aus drei getrennten Bauchentscheidungen.

Distriktoptimierung

Polizeibezirke neu zuschneiden

Das Problem

Viele Bezirkspläne reichen Jahrzehnte zurück und wurden manuell entlang von Autobahnen und Grenzen gezogen (Bruce 2009).
Notdienste besitzen viele Daten, nutzen sie aber selten zur Verbesserung.

Frage: Wie schneidet man Bezirke so zu, dass die Reaktionszeit minimal und die Auslastung ausgeglichen ist?

Gleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie schneiden Sie selbst Bezirke zu: 24 Zellen, drei Wachen, jede mit mindestens 8 Zellen. Genügt es, jede Zelle der nächstgelegenen Wache zu geben?

Sie sind dran

Der OR-Ansatz

Das Spiel als Zuordnungsproblem: $X_{zs} = 1$ , wenn Zelle $z$ zur Wache $s$ gehört.

$\begin{aligned} \min \; & \sum_{z}\sum_{s} \text{dist}_{zs}\, X_{zs} \\ & \sum_{s} X_{zs} = 1 && \forall z \quad (\text{jede Zelle einer Wache}) \\ & \sum_{z} X_{zs} \ge \underline{n} && \forall s \quad (\text{Auslastung ausgleichen}) \\ & X_{zs} \in \{0, 1\} \end{aligned}$

Kontrolle mit Julia

Die Karte aus dem Spiel: 24 Zellen, 3 Wachen, je mindestens 8 Zellen, Fahrzeit 2 min plus 3 min je durchquerte Zelle:

using JuMP, HiGHS
Z = [(c - (r - r % 2) ÷ 2, r) for r in 0:3 for c in 0:5]  # 24 Zellen
W = [3, 13, 17]                      # die Zellen der drei Wachen
schritte(a, b) = (abs(a[1] - b[1]) + abs(a[2] - b[2]) +
                  abs(sum(a) - sum(b))) ÷ 2
dist = [2 + 3schritte(Z[z], Z[w]) for z in eachindex(Z), w in W]
modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X[eachindex(Z), 1:3], Bin)
@objective(modell, Min, sum(dist .* X))
@constraint(modell, [z in eachindex(Z)], sum(X[z, :]) == 1)  # Zuordnung
@constraint(modell, [s in 1:3], sum(X[:, s]) >= 8)           # Auslastung
optimize!(modell)
println("Fahrzeit = ", round(Int, objective_value(modell)), " min, ",
        "Zellen je Wache: ", round.(Int, vec(sum(value.(X), dims = 1))))

Fahrzeit = 144 min, Zellen je Wache: [8, 8, 8]

Zusammenhängend und kompakt

In der Praxis braucht ein Bezirk mehr als die Zuordnung:

Raster aus 28 nummerierten Sechseckzellen mit drei Wachen in den Zellen 1, 12 und 28, in drei Farben auf Bezirke verteilt. Der rote Bezirk der Wache 12 zieht sich als schmaler Streifen über die Zellen 14, 18, 21 und 22 bis in die Ecke oben rechts zu Zelle 25. — Zusammenhängend, aber nicht kompakt

Dasselbe Raster mit denselben drei Wachen; jetzt liegt jeder Bezirk geschlossen um seine Wache, der rote Bezirk reicht nur noch bis Zelle 20, die Zellen oben rechts gehören zur Wache 28. — Kompakt um die Wache

Die Fallstudien ergänzen das Zuordnungsmodell um Zusammenhang und Kompaktheit (Vlćek u. a. 2024).

Was OR hier leistet

OR-Modelle verbinden Einsatzdaten und Geodaten und verbessern so die Reaktion der Rettungsdienste.
Sie stützen auch strategische Entscheidungen: neue Wachen eröffnen oder bestehende schließen (Liberatore u. a. 2020).

Fallstudie Deutschland

Karte einer Großstadt aus Sechseckzellen, eingefärbt nach etwa fünfzehn optimierten Polizeibezirken; jede Wache ist als schraffierte Zelle markiert, dazu ein Maßstab von 0 bis 10 km.

Großstadt: 1,8 Mio. Einsätze (2015–2019).
Rund 20 Wachen, 1 596 Gebietszellen.
Ziel: Bezirke neu zuschneiden, Reaktionszeit senken.

Fallstudie Belgien

Karte eines ländlichen Gebiets aus Sechseckzellen, aufgeteilt in drei große Polizeibezirke in Rot, Gelb und Blau mit je einer schraffierten Wache; dazu ein Maßstab von 0 bis 10 km.

Ländlich: 50 000 Einsätze (2019–2020).
2 Wachen, eine dritte geplant; 1 233 Gebietszellen.
Ziel: Bezirke neu zuschneiden und die neue Wache einbinden.

Bewertung per Simulation

Fahrzeiten aus Straßennetz und Verkehrsdaten (Google Maps).
Die neuen Bezirke laufen in einer Simulation des Rettungsdienstes.
Sie erfasst räumliche und zeitliche Einsatzmuster, Schichten, Priorisierung, Rushhour, Aushilfe zwischen Bezirken, schwankende Fahrzeiten und Folgeeinsätze.

Anders als im Spiel erzwingt dort keine Restriktion eine ausgeglichene Auslastung: Kompakte Bezirke um gut gelegene Wachen verteilen sie von selbst, gemessen in der Simulation.

Ergebnis der Fallstudien

Fallstudien in Deutschland und Belgien:

Wirkung

Optimierte Polizeibezirke senkten die Reaktionszeit in der Simulation um bis zu 14,5 %, ohne zusätzliches Personal.

Notdienste profitieren von OR bei Standorten und Bezirkszuschnitt.
Derselbe Ansatz lässt sich auf andere Rettungsdienste übertragen.

Discrete Choice

Welches Verkehrsmittel?

Nachfrage prognostizieren

Wie entscheiden sich Menschen zwischen Alternativen (Auto, Bus, Bahn)?

Grundlage: eine Stichprobe befragter Personen.
Revealed preferences: „Ich habe $x$ gewählt.”
Stated preferences: „Ich würde $x$ wählen.”
Daraus wird eine Nutzenfunktion geschätzt, und daraus die Nachfrage prognostiziert.

Nutzen und Distanz

Geschätzter Nutzen von vier Verkehrsmitteln über der Distanz von 0 bis 15 km, gemessen am motorisierten Individualverkehr (MIV, Nulllinie). Zu Fuß beginnt bei 5,5 und fällt steil bis −10 bei 3,5 km; das Fahrrad beginnt bei 1,8 und fällt bis −9,5 bei 12,5 km; der ÖV liegt fast waagerecht zwischen −1 und −2. Bis etwa 1 km liegt der Fußweg vorn, bis etwa 2 km das Fahrrad, danach der MIV.

Nutzen je Verkehrsmittel, gemessen am MIV (Pkw).

Frage: Ab wann liegt der Pkw vorn?

Ab etwa 2 km; davor Fußweg (bis 1 km) und Fahrrad.

Der ÖV liegt nie vorn und wird doch gewählt: Nutzen ist auch zufällig.

Was liefert die Analyse?

Aus der geschätzten Nutzenfunktion folgen direkt:

Nachfrageprognosen für neue Angebote.
Zahlungsbereitschaften der Kunden.
Die ökonomische Beurteilung von Infrastrukturmaßnahmen.
Die Ausgestaltung des Dienstleistungsangebots.

Fallstudie Dresdner Schülerverkehr: geschätzte Nutzenfunktionen zeigten, wie Schüler auf Takt und Preis des ÖPNV reagieren.

Fallstudie: BART

Prognose des Marktanteils des neuen Bay Area Rapid Transit (San Francisco):

Verkehrsmittel	Tatsächlich [%]	Prognose [%]
nur Pkw	59,90	55,84
Bus	10,78	12,51
Park-and-Ride	1,43	2,41
BART + Bus	0,95	1,05
BART + Pkw	5,23	5,29
Carpooling	21,71	22,89

BART: Prognose 6,3 % vs. tatsächlich 6,2 %, sehr genau.

Crowd Management

Der Hadsch in Mekka

Der Hadsch

Der Hadsch ist die große islamische Pilgerfahrt nach Mekka, dem religiösen Zentrum des Islams in Saudi-Arabien.

Jeder körperlich fähige Muslim soll ihn einmal im Leben vollziehen.
Wegen der beengten Verhältnisse dürfen nur 2 bis 4 Millionen Menschen im Jahr die Reise antreten.

Das Ritual

Eine mehrtägige Reise mit mehreren Ritualen an verschiedenen Stätten.
Fokus: das Ramy-al-Jamarat-Ritual: Die Pilger werfen Kieselsteine gegen drei Säulen, die für die Versuchungen des Teufels stehen.
Wiederholt an vier aufeinanderfolgenden Tagen.

Zeltstadt von Mina

Luftbild der Zeltstadt von Mina mit Tausenden weißer Zelte zwischen Bergen und Straßen; links oben eine Karte der Arabischen Halbinsel mit der Lage von Mekka.

In diesen vier Tagen wohnen etwa 1,5 bis 2 Millionen Pilger in der Zeltstadt von Mina und erreichen die heilige Stätte immer wieder über ein Netz von Straßen und Wegen.

Das Risiko

Pilger haben je Ritualtag Zeitpräferenzen; auch religiöse Traditionen prägen die Wahl.
Logistische Grenzen (An- und Abfahrt der Shuttles), extreme Wüstenhitze, enge Infrastruktur.
In Extremfällen eskalierte unkoordinierter Zugang zu Massenkatastrophen.

Spitzenzeiten

Liniendiagramm der gewünschten Auslastung der King Fahd Road über zwei Ritualtage in Prozent der Kapazität: Die Kurve springt mehrmals auf Spitzen von etwa 150, 175 und 200 Prozent und fällt dazwischen fast auf null; ein Band zwischen 50 und 100 Prozent ist grau hinterlegt.

Die Wünsche ballen sich um Spitzenzeiten, die auf den Propheten Mohammed zurückgehen.
2 bis 4 Millionen Menschen wollen binnen weniger Stunden an denselben Ort.
Gewünschte Auslastung der King Fahd Road: bis zu 200 % der Kapazität.

Crowd Disasters

Jahr	Ort	Tote
1990	Al-Ma’aisim	1 426
1994	Jamarat	266
1997	Jamarat	22
1998	Jamarat	118
2001	Jamarat	35
2004	Jamarat	251
2006	Jamarat	363
2015	Mina	769 offiziell, 2 411 laut AP

Lange Wartezeiten und Engpässe machen die Pilgerfahrt gefährlich: ein Ablaufplanungsproblem.

Pilgerströme ordnen

Vergleich der Pilgerströme an der Jamarat-Brücke: oben 2006 mit roten und grünen Pfeilen, die sich kreuzen, und einem Luftbild mit Gegenverkehr; unten 2016 mit gleichgerichteten grünen Pfeilen auf mehreren Ebenen der Brücke und einem Luftbild der Brücke.

Kreuzende Ströme sind am gefährlichsten. 2006 kreuzten sie sich an der Jamarat-Brücke, 2016 laufen sie als Einbahnwege auf mehreren Ebenen.

Der OR-Beitrag

Anpassungen auf Basis von Operations Research:

Zeitplanung der Steinigungsrituale (Path Assignment & Timetabling).
Metronutzung und Pilgerstrom-Monitoring.
Mobile Apps, elektronische E-Gates (RFID), Online-Karten, Simulation.

Im Kern: Ströme über ein Netzwerk zeitlich so verteilen, dass Engpässe vermieden werden (die Werkzeuge aus V06 und V09).

Der Plan glättet die Spitzen

Dasselbe Diagramm der King Fahd Road mit zwei Kurven: Rot die gewünschte Auslastung mit Spitzen bis 200 Prozent, grün die geplante Auslastung, die in breiten Plateaus bei etwa 70 Prozent bleibt und die Kapazität nie überschreitet.

Jede Pilgergruppe erhält je Ritualtag ein Zeitfenster und einen Weg.
Rot: gewünschte, grün: geplante Auslastung.
Sicherheit zuerst: Die Kapazität hält, die Wunschzeiten werden so gut wie möglich getroffen.

Weitere Anwendungen

Dieselben Bausteine tragen viele weitere Projekte:

Standortplanung für Automobilhändler.
Tourenplanung: Getränkehandel, medizinische Labore, Bücherhallen.
Waren-Lager-Zuordnung in der Logistik.
Steuerung von Metroauslastungen.
Sitzpläne unter Abstandsregeln.

Pakete im Onlinehandel

Foto: Lagerhalle mit hohen Regalen voller Kartons und Kisten.

Welcher von 100 000+ Artikeln liegt in welchem Lager?

Liegen die Artikel eines Auftrags in verschiedenen Lagern, kommen zwei Pakete.
Ausgangslage: 6,95 % aller Aufträge wurden geteilt.
Eine Zuordnung per Heuristik (Chi-Quadrat-Tests) senkt diese Teilungen rechnerisch um 82 %.

Bibliotheken beliefern

Foto: Leseecke mit zwei Sesseln vor hohen Bücherregalen in einer Bibliothek.

Tourenplanung in Schleswig-Holstein:

165 Bibliotheken, 119 davon alle zwei Wochen.
Bis zu 9 Touren, je höchstens 8 h.
MIP nach 1 h: noch 40–45 % Lücke zur Schranke.
Heuristik: unter 5 min, rund 20 % kürzere Strecke als von Hand, 12–15 t weniger CO₂ im Jahr.

Sitzpläne unter Abstandsregeln

Optimierter Sitzplan der Nord- und der Südtribüne des Stadions Bremer Brücke in Osnabrück: farbige Blöcke markieren die zugeteilten Gruppen, dazwischen bleiben Plätze für den Abstand frei; links eine Tabelle mit der Auslastung je Block.

VfL Osnabrück, Relegation 2021: 241 zusätzliche Plätze (+12 %) unter allen Abstandsregeln, von den Behörden genehmigt, rund 8 435 € Mehreinnahmen in einem Spiel.

Metro-Zufluss in Doha

Zulässige Einlassrate in die Metro (Personen pro Minute) für jede Stunde des Tages als Balken: Nach Mitternacht fällt sie von rund 35 auf null gegen 4 bis 5 Uhr, steigt ab 6 Uhr bis zur Spitze von rund 120 gegen 14 Uhr und liegt abends noch bei etwa 60 bis 90.

WM 2022 in Katar, über 1 Mio. Gäste:

Kapazitätsüberschreitungen: 25 941 → 4.
Höchste Auslastung einer Strecke: 316 % → 109 %.
81 % sicher befördert, der Rest wartet draußen.
Rechenzeit: rund 1,4 s je Planungsperiode.

Zusammenfassung

Operations Research wirkt

Brauerei: Losgrößen-MIP steuert eine Jahresproduktion.
Verkaufsgebiete: eine Optimierung statt drei Bauchentscheidungen.
Distrikte: Reaktionszeiten sinken um über 14 %.
Discrete Choice: Marktanteile aufs Zehntelprozent prognostiziert.
Crowd-Management: Netzwerkmodelle retten Leben.

Die Bausteine dieses Kurses (LP, MIP, Graphen, Netzpläne) sind genau die Werkzeuge dieser Projekte.

Literatur

Literaturverzeichnis

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Vlćek, Tobias, Knut Haase, Matthes Koch, Lena Dolz, Anneke Weygandt, und Jan Pape. 2023. „Controlling Passenger Flows into Metro Systems to Mitigate Overcrowding During Large-Scale Events“. Working Paper.

Vlćek, Tobias, und Guido Voigt. 2023. „Optimizing SKU-Warehouse Allocations to Minimize Split Parcels in E-Commerce Environments“. Working Paper.