Vorlesung 08: Ganzzahlige Optimierung

Grundlagen Operations Research

Ganzzahligkeit

Nur ganze Einheiten

Was ist neu?

Für einige oder alle Variablen sind nur ganze Zahlen zulässig:

• Ganzzahlig: $X \ge 0$ und ganzzahlig (Stückzahlen, Fahrzeuge, …).
• Binär: $X \in \{0, 1\}$ für Ja/Nein-Entscheidungen.
• Gemischt-ganzzahlig: ganzzahlige und kontinuierliche Variablen.

Lässt man die Ganzzahligkeit weg, entsteht die LP-Relaxation, ein gewöhnliches lineares Problem.

Warum schwierig?

• Ganzzahlige Probleme gelten als schwer: kein Algorithmus mit polynomialem Aufwand für die optimale Lösung bekannt.
• Naiv: vollständige Enumeration aller ganzzahligen Möglichkeiten.
• In der Praxis: Meta-Heuristiken (Genetische Algorithmen, Tabu-Suche, …) oder das exakte Branch-&-Bound-Verfahren.

LP-Relaxation grafisch

Die schwarzen Punkte sind die ganzzahligen Kandidaten.

Das LP-Optimum $(2{,}29;\, 1{,}57)$ ist nicht ganzzahlig.

Frage: Warum nicht einfach runden?

Die Antwort folgt am Ende des Kapitels.

Branch & Bound

Ausgangsproblem $P_0$

$$\begin{aligned} \max \; & F = X_1 + 2 X_2 \\ & X_1 + 3 X_2 \le 7 \\ & 3 X_1 + 2 X_2 \le 10 \\ & X_1, X_2 \ge 0 \text{ und ganzzahlig} \end{aligned}$$

LP-Relaxation $P_0'$: $X_1^* = 2{,}286$, $X_2^* = 1{,}571$, $F_0^* = 5{,}429$ $\Rightarrow$ obere Schranke $\overline{F}_0 = 5{,}429$.

Schranken (Bounding)

• Jede LP-Relaxation liefert eine obere Schranke für ihr Teilproblem.
• Jede bekannte ganzzahlige Lösung liefert eine globale untere Schranke $\underline{F}$.
• Start: $X_1 = X_2 = 0$ ist ganzzahlig zulässig $\Rightarrow \underline{F} = 0$.
• Ist keine zulässige Lösung bekannt, startet man mit $\underline{F} = -\infty$.

Ein Teilproblem $P_i$ ist ausgelotet, wenn seine obere Schranke $\overline{F}_i$ die untere Schranke $\underline{F}$ nicht mehr übertrifft.

Die Auslotungsregeln

Ein Teilproblem $P_i$ wird nicht weiter verzweigt, wenn:

• (3a) $\overline{F}_i \le \underline{F}$: es kann nichts Besseres mehr liefern.
• (3b) die Relaxationslösung ganzzahlig ist und $\underline{F}$ verbessert ($\overline{F}_i > \underline{F}$): neue beste Lösung.
• (3c) die Relaxation unzulässig ist: dann auch $P_i$.

Im Baum stehen ✗ für ausgelotet (3a, 3c), ✓ für eine neue beste Lösung (3b) und ★ für die Lösung, die am Ende optimal ist.

Auslotung bei Minimierung

Bei Minimierung tauschen obere und untere Schranke die Rollen:

• Jede bekannte ganzzahlige Lösung liefert eine globale obere Schranke $\overline{F}$.
• Jede Relaxation liefert eine untere Schranke $\underline{F}_i$.
• (3a) $\underline{F}_i \ge \overline{F}$: es kann nichts Besseres mehr liefern.
• (3b) die Relaxationslösung ist ganzzahlig und verbessert $\overline{F}$ ($\underline{F}_i < \overline{F}$): neue beste Lösung.
• (3c) unverändert: Relaxation unzulässig, dann auch $P_i$.

Relaxationen

Die LP-Relaxation ist nur eine Möglichkeit, Schranken zu gewinnen:

• LP-Relaxation: Ganzzahligkeit weglassen (unser Standard).
• Weglassen von Nebenbedingungen: jedes entspannte Problem schrankt.
• Lagrange-Relaxation: verletzte Restriktionen wandern bestraft in die Zielfunktion.

Verzweigen (Branching)

Wähle eine nicht ganzzahlige Variable und verzweige, um den nicht ganzzahligen Bereich auszuschließen:

$$P_1:\; P_0 \text{ und } X_1 \le 2 \qquad P_2:\; P_0 \text{ und } X_1 \ge 3$$

Übliche Regel: die Variable mit dem geringsten Abstand zur nächsten ganzen Zahl, hier $X_1$ ($0{,}286 < 0{,}429$). Einfache Alternative: die nicht ganzzahlige Variable mit dem kleinsten Index.

Die optimale ganzzahlige Lösung von $P_0$ steckt in $P_1$ oder $P_2$.

Suchstrategien

Frage: Welches offene Teilproblem als Nächstes?

• Reine Tiefensuche: einen Ast bis zum Ende, schnell eine erste Lösung.
• Tiefensuche + MUB: nach vollständiger Verzweigung den Ast mit größter oberer Schranke (Maximum Upper Bound).
• Breitensuche: unter allen offenen Knoten den mit größter Schranke.

Backtracking (beide Tiefensuchen, am Ende eines Astes): zurück zum vorangegangenen Knoten, dessen nächstes Teilproblem betrachten, sofern noch nicht ausgelotet.

Suchstrategien bei Minimierung

Bei Minimierung drehen sich die Suchstrategien mit:

• Tiefensuche + MLB (verzweigte Tiefensuche): nach vollständiger Verzweigung den Ast mit kleinster unterer Schranke (Minimum Lower Bound).
• Breitensuche: unter allen offenen Knoten den mit kleinster unterer Schranke.
• Ohne bekannte Lösung startet $\overline{F} = +\infty$.

Teilprobleme $P_1$ und $P_2$

$P_1\,(X_1 \le 2)$: $(2,\, 1{,}67)$, $\overline{F}_1 = 5{,}33$

$P_2\,(X_1 \ge 3)$: $(3,\, 0{,}5)$, $\overline{F}_2 = 4$

Weiter mit dem besten Ast

$\overline{F}_1 = 5{,}33 > \overline{F}_2 = 4$ $\Rightarrow$ verzweige zuerst $P_1$ (Maximum-Upper-Bound).

In $P_1$ ist $X_2 = 1{,}667$ nicht ganzzahlig:

$$P_3:\; P_1 \text{ und } X_2 \le 1 \qquad P_4:\; P_1 \text{ und } X_2 \ge 2$$

Teilprobleme $P_3$ und $P_4$

$P_3$: $(2,\, 1)$, $F_3 = 4$, ganzzahlig $\Rightarrow \underline{F} = 4$

$P_4$: $(1,\, 2)$, $F_4 = 5$, ganzzahlig $\Rightarrow \underline{F} = 5$

$P_2$ wird ausgelotet

$P_3$ und $P_4$ sind ganzzahlig gelöst. Die beste untere Schranke ist jetzt $\underline{F} = 5$.

$$\overline{F}_2 = 4 \;\le\; \underline{F} = 5 \;\Rightarrow\; P_2 \text{ ausgelotet}$$

$P_2$ kann keine bessere Lösung mehr enthalten. Es muss nicht weiter untersucht werden.

Der Branch-&-Bound-Baum

$P_0$: LP-Optimum nicht ganzzahlig, UB (= $\overline{F}$) 5,43, verzweigen nach $X_1$.

$P_1$ mit $X_1 \le 2$: $(2,\, 1{,}67)$, $\overline{F}_1 = 5{,}33 > \underline{F} = 0$, nicht ganzzahlig: offen.

$P_2$ mit $X_1 \ge 3$: $(3,\, 0{,}5)$, $\overline{F}_2 = 4 > \underline{F} = 0$: offen. $P_1$ verspricht mehr (MUB), $P_2$ wartet.

$P_3$ mit $X_2 \le 1$: $(2,\, 1)$ ganzzahlig, $4 > \underline{F} = 0$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 4$.

$P_4$ mit $X_2 \ge 2$: $(1,\, 2)$ ganzzahlig, $5 > \underline{F} = 4$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 5$.

$P_2$ ausgelotet (3a), denn $\overline{F}_2 = 4 \le \underline{F} = 5$.

Optimale Lösung

Alle Teilprobleme sind ausgelotet. Die beste ganzzahlige Lösung ist optimal:

WichtigOptimale Lösung

$$X_1^* = 1, \quad X_2^* = 2, \quad F_0^* = 5$$

Beachten Sie: das gerundete LP-Optimum $(2, 2)$ ist gar nicht zulässig. Runden führt oft in die Irre.

Kontrolle mit Julia

Ganzzahlig mit JuMP

Ganzzahligkeit ist in JuMP nur ein Zusatz. HiGHS führt Branch & Bound automatisch aus:

using JuMP, HiGHS

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X1 >= 0, Int)          # ganzzahlig
@variable(modell, X2 >= 0, Int)
@objective(modell, Max, X1 + 2X2)
@constraint(modell, X1 + 3X2 <= 7)
@constraint(modell, 3X1 + 2X2 <= 10)

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 5.0 mit X1 = 1.0, X2 = 2.0

Binäres Beispiel

Auftragsauswahl

Ein Fuhrunternehmer kann vier Aufträge annehmen. Welche maximieren den Erlös? Kapazität: 30 t und 50 Paletten.

Auftrag	1	2	3	4
Gewicht [t]	10	15	12	14
Paletten	12	30	16	10
Erlös	200	350	250	180

Das Binärmodell

Mit $X_j \in \{0, 1\}$ (Auftrag $j$ annehmen?):

$$\begin{aligned} \max \; & F = \sum_j e_j\, X_j \\ & \sum_j g_j\, X_j \le G && (\text{Gewicht}) \\ & \sum_j p_j\, X_j \le P && (\text{Paletten}) \\ & X_j \in \{0, 1\} \end{aligned}$$

LP-Relaxation: statt $X_j \in \{0,1\}$ nur $0 \le X_j \le 1$.

LP-Relaxation lösen

Die LP-Relaxation ist nicht ganzzahlig:

$$X^* = (0{,}3,\; 1,\; 1,\; 0), \quad F_0^* = 660$$

$X_1 = 0{,}3$ ist nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ verzweige nach $X_1$, und zwar, da binär, in die Äste $X_1 = 0$ und $X_1 = 1$.

Reine Tiefensuche

$P_0$: $660 > \underline{F} = 0$, $X_1$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_1$, immer $X_j = 0$ zuerst.

$P_1$ mit $X_1 = 0$: $638{,}6 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_4$.

$P_2$ mit $X_4 = 0$: $(0, 1, 1, 0)$ ganzzahlig, $600 > \underline{F} = 0$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 600$.

Backtracking zu $P_1$, Ast $X_4 = 1$: $P_3$ mit $550{,}8 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

Zurück zu $P_0$, Ast $X_1 = 1$: $P_4$ mit $654{,}2 > \underline{F} = 600$, $X_3$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_3$.

$P_5$ mit $X_3 = 0$: $614{,}3 > \underline{F} = 600$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_4$.

$P_6$ mit $X_4 = 0$: $(1, 1, 0, 0)$ ganzzahlig, aber $550 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

Zurück zu $P_5$, Ast $X_4 = 1$: $P_7$ mit $520 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

Zurück zu $P_4$, Ast $X_3 = 1$: $P_8$ mit $636{,}7 > \underline{F} = 600$, $X_2$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_2$.

$P_9$ mit $X_2 = 0$: $552{,}9 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

Zurück zu $P_8$, Ast $X_2 = 1$: $P_{10}$ unzulässig (3c), Gewicht $37 > 30$. $P_2$ bleibt optimal.

Tiefensuche + MUB

$P_0$: $660 > \underline{F} = 0$, $X_1$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_1$ und löse beide Äste.

$P_1$ mit $X_1 = 0$: $638{,}6 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen.

$P_2$ mit $X_1 = 1$: $654{,}2 > \underline{F} = 0$, $X_3$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen. MUB: $654{,}2 > 638{,}6$, weiter mit $P_2$.

$P_3$ mit $X_3 = 0$: $614{,}3 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen.

$P_4$ mit $X_3 = 1$: $636{,}7 > \underline{F} = 0$, $X_2$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen. MUB: $636{,}7 > 614{,}3$, weiter mit $P_4$.

$P_5$ mit $X_2 = 0$: $552{,}9 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen.

$P_6$ mit $X_2 = 1$: unzulässig (3c), Gewicht $37 > 30$. Weiter mit $P_5$, verzweige nach $X_4$.

$P_7$ mit $X_4 = 0$: $(1, 0, 1, 0)$ ganzzahlig, $450 > \underline{F} = 0$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 450$. $P_1$, $P_3$ bleiben offen.

$P_8$ mit $X_4 = 1$: unzulässig (3c), Gewicht $36 > 30$. Backtracking zum tiefsten offenen Knoten, $P_3$.

$P_3$, Ast $X_4 = 0$: $P_9$ mit $(1, 1, 0, 0)$ ganzzahlig, $550 > \underline{F} = 450$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 550$.

$P_{10}$ mit $X_4 = 1$: $520 \le \underline{F} = 550$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a). Backtracking zu $P_1$: $638{,}6 > 550$, offen.

$P_1$, Ast $X_4 = 0$: $P_{11}$ mit $(0, 1, 1, 0)$ ganzzahlig, $600 > \underline{F} = 550$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 600$.

$P_{12}$ mit $X_4 = 1$: $550{,}8 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a). Nichts mehr offen, $P_{11}$ ist optimal.

Breitensuche

$P_0$: $660 > \underline{F} = 0$, $X_1$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen, verzweige nach $X_1$ und löse beide Äste.

$P_1$ mit $X_1 = 0$: $638{,}6 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen.

$P_2$ mit $X_1 = 1$: $654{,}2 > \underline{F} = 0$, $X_3$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen. Größte Schranke aller offenen: $P_2$.

$P_3$ mit $X_3 = 0$: $614{,}3 > \underline{F} = 0$, $X_4$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen.

$P_4$ mit $X_3 = 1$: $636{,}7 > \underline{F} = 0$, $X_2$ nicht ganzzahlig $\Rightarrow$ offen. Größte Schranke aller offenen hat $P_1$.

$P_5$ mit $X_4 = 0$: $(0, 1, 1, 0)$ ganzzahlig, $600 > \underline{F} = 0$ (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 600$.

$P_6$ mit $X_4 = 1$: $550{,}8 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a). $P_3$, $P_4$ bleiben offen, weiter mit $P_4$.

$P_7$ mit $X_2 = 0$: $552{,}9 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

$P_8$ mit $X_2 = 1$: unzulässig (3c), Gewicht $37 > 30$. Offen bleibt nur $P_3$, verzweige nach $X_4$.

$P_9$ mit $X_4 = 0$: $(1, 1, 0, 0)$ ganzzahlig, aber $550 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a).

$P_{10}$ mit $X_4 = 1$: $520 \le \underline{F} = 600$ $\Rightarrow$ ausgelotet (3a). Nichts mehr offen, $P_5$ ist optimal.

Optimum

WichtigBeste Auftragsauswahl

Aufträge 2 und 3: $X^* = (0, 1, 1, 0)$, $F^* = 600$.

Von $2^4 = 16$ möglichen Auftragskombinationen hat Branch & Bound nur einen Teil explizit geprüft. Der Rest war implizit ausgelotet: implizite vollständige Enumeration.

TippGleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie führen Sie Branch & Bound selbst aus, mit allen drei Suchstrategien von vorhin.

Sie sind dran

Kontrolle mit Julia

HiGHS geht genauso vor, nur mit geschickteren Regeln für Variable und Reihenfolge:

using JuMP, HiGHS
e = [200,350,250,180]; g = [10,15,12,14]; p = [12,30,16,10]
G, P, J = 30, 50, 1:4

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X[J], Bin)
@objective(modell, Max, sum(e[j]*X[j] for j in J))
@constraint(modell, sum(g[j]*X[j] for j in J) <= G)
@constraint(modell, sum(p[j]*X[j] for j in J) <= P)

optimize!(modell)
println("F* = ", round(Int, objective_value(modell)),
        ", angenommen: ", [j for j in J if value(X[j]) > 0.5])

F* = 600, angenommen: [2, 3]

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• Die LP-Relaxation lässt die Ganzzahligkeit weg und liefert eine obere Schranke.
• Branch & Bound verzweigt nach nicht ganzzahligen Variablen und lotet Teilprobleme über Schranken aus.
• Ein Teilproblem $P_i$ ist erledigt, wenn es ganzzahlig ist oder seine obere Schranke $\overline{F}_i$ die untere Schranke $\underline{F}$ nicht übertrifft.
• Runden der LP-Lösung ist keine verlässliche Methode.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.