Vorlesung 08: Ganzzahlige Optimierung

Grundlagen Operations Research

Ganzzahlige Optimierung

Nur ganze Einheiten

Was ist neu?

Für einige oder alle Variablen sind nur ganze Zahlen zulässig:

• Ganzzahlig: $X \ge 0$ und ganzzahlig (Stückzahlen, Fahrzeuge, …).
• Binär: $X \in \{0, 1\}$ für Ja/Nein-Entscheidungen.
• Gemischt-ganzzahlig: ganzzahlige und kontinuierliche Variablen.

Lässt man die Ganzzahligkeit weg, entsteht die LP-Relaxation, ein gewöhnliches lineares Problem.

Warum schwierig?

• Ganzzahlige Probleme gelten als schwer: kein Algorithmus mit polynomialem Aufwand für die optimale Lösung bekannt.
• Naiv: vollständige Enumeration aller ganzzahligen Möglichkeiten.
• In der Praxis: Meta-Heuristiken (Genetische Algorithmen, Tabu-Suche, …) oder das exakte Branch-&-Bound-Verfahren.

LP-Relaxation grafisch

Die schwarzen Punkte sind die ganzzahligen Kandidaten.

Das LP-Optimum $(2{,}29;\, 1{,}57)$ ist nicht ganzzahlig.

Frage: Warum nicht einfach runden?

Die Antwort folgt am Ende des Kapitels.

Branch & Bound

Ausgangsproblem $P_0$

$$\begin{aligned} \max \; & F = X_1 + 2 X_2 \\ & X_1 + 3 X_2 \le 7 \\ & 3 X_1 + 2 X_2 \le 10 \\ & X_1, X_2 \ge 0 \text{ und ganzzahlig} \end{aligned}$$

LP-Relaxation $P_0'$: $X_1^* = 2{,}286$, $X_2^* = 1{,}571$, $F_0^* = 5{,}429$ $\Rightarrow$ obere Schranke $\overline{F}_0 = 5{,}429$.

Schranken (Bounding)

• Jede LP-Relaxation liefert eine obere Schranke für ihr Teilproblem.
• Jede bekannte ganzzahlige Lösung liefert eine globale untere Schranke $\underline{F}$.
• Start: $X_1 = X_2 = 0$ ist ganzzahlig zulässig $\Rightarrow \underline{F} = 0$.

Ein Teilproblem ist ausgelotet, wenn seine obere Schranke $\underline{F}$ nicht mehr übertrifft.

Die Auslotungsregeln

Ein Teilproblem $P_i$ wird nicht weiter verzweigt, wenn:

• (3a) $\overline{F}_i \le \underline{F}$: es kann nichts Besseres mehr liefern.
• (3b) die Relaxationslösung ganzzahlig ist und $\underline{F}$ verbessert ($\overline{F}_i > \underline{F}$): neue beste Lösung.
• (3c) die Relaxation unzulässig ist: dann auch $P_i$.

Bei Minimierung tauschen obere und untere Schranke die Rollen.

Relaxationen

Die LP-Relaxation ist nur eine Möglichkeit, Schranken zu gewinnen:

• LP-Relaxation: Ganzzahligkeit weglassen (unser Standard).
• Weglassen von Nebenbedingungen: jedes entspannte Problem schrankt.
• Lagrange-Relaxation: verletzte Restriktionen wandern bestraft in die Zielfunktion.

Verzweigen (Branching)

Wähle eine nicht ganzzahlige Variable und verzweige, um den nicht ganzzahligen Bereich auszuschließen:

$$P_1:\; P_0 \text{ und } X_1 \le 2 \qquad P_2:\; P_0 \text{ und } X_1 \ge 3$$

Übliche Regel: die Variable mit dem geringsten Abstand zur nächsten ganzen Zahl, hier $X_1$ ($0{,}286 < 0{,}429$).

Die optimale ganzzahlige Lösung von $P_0$ steckt in $P_1$ oder $P_2$.

Suchstrategien

Frage: Welches offene Teilproblem als Nächstes?

• Reine Tiefensuche: einen Ast bis zum Ende, schnell eine erste Lösung.
• Tiefensuche + MUB: nach vollständiger Verzweigung den Ast mit größter oberer Schranke (Maximum Upper Bound).
• Breitensuche: unter allen offenen Knoten den mit größter Schranke.

Teilprobleme $P_1$ und $P_2$

$P_1\,(X_1 \le 2)$: $(2,\, 1{,}67)$, $\overline{F}_1 = 5{,}33$

$P_2\,(X_1 \ge 3)$: $(3,\, 0{,}5)$, $\overline{F}_2 = 4$

Weiter mit dem besten Ast

$\overline{F}_1 = 5{,}33 > \overline{F}_2 = 4$ $\Rightarrow$ verzweige zuerst $P_1$ (Maximum-Upper-Bound).

In $P_1$ ist $X_2 = 1{,}667$ nicht ganzzahlig:

$$P_3:\; P_1 \text{ und } X_2 \le 1 \qquad P_4:\; P_1 \text{ und } X_2 \ge 2$$

Teilprobleme $P_3$ und $P_4$

$P_3$: $(2,\, 1)$, $F_3 = 4$, ganzzahlig $\Rightarrow \underline{F} = 4$

$P_4$: $(1,\, 2)$, $F_4 = 5$, ganzzahlig $\Rightarrow \underline{F} = 5$

$P_2$ wird ausgelotet

$P_3$ und $P_4$ sind ganzzahlig gelöst. Die beste untere Schranke ist jetzt $\underline{F} = 5$.

$$\overline{F}_2 = 4 \;\le\; \underline{F} = 5 \;\Rightarrow\; P_2 \text{ ausgelotet}$$

$P_2$ kann keine bessere Lösung mehr enthalten. Es muss nicht weiter untersucht werden.

Der Branch-&-Bound-Baum

$P_0$: LP-Optimum gebrochen, UB (= $\overline{F}$) 5,43, verzweigen nach $X_1$.

$P_1$ verspricht mehr (MUB). $P_2$ wartet.

$P_3$ und $P_4$ sind ganzzahlig (3b); $\underline{F} = 5$ lotet $P_2$ aus (3a).

Optimale Lösung

Alle Teilprobleme sind ausgelotet. Die beste ganzzahlige Lösung ist optimal:

Optimale Lösung

$$X_1^* = 1, \quad X_2^* = 2, \quad F_0^* = 5$$

Beachten Sie: das gerundete LP-Optimum $(2, 2)$ ist gar nicht zulässig. Runden führt oft in die Irre.

Kontrolle mit Julia

Ganzzahlig mit JuMP

Ganzzahligkeit ist in JuMP nur ein Zusatz. HiGHS führt Branch & Bound automatisch aus:

using JuMP, HiGHS

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X1 >= 0, Int)          # ganzzahlig
@variable(modell, X2 >= 0, Int)
@objective(modell, Max, X1 + 2X2)
@constraint(modell, X1 + 3X2 <= 7)
@constraint(modell, 3X1 + 2X2 <= 10)

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 5.0 mit X1 = 1.0, X2 = 2.0

Binäres Beispiel

Auftragsauswahl

Ein Fuhrunternehmer kann vier Aufträge annehmen. Welche maximieren den Erlös? Kapazität: 30 t und 50 Paletten.

Auftrag	1	2	3	4
Gewicht [t]	10	15	12	14
Paletten	12	30	16	10
Erlös	200	350	250	180

Das Binärmodell

Mit $X_j \in \{0, 1\}$ (Auftrag $j$ annehmen?):

$$\begin{aligned} \max \; & F = \sum_j e_j\, X_j \\ & \sum_j g_j\, X_j \le G && (\text{Gewicht}) \\ & \sum_j p_j\, X_j \le P && (\text{Paletten}) \\ & X_j \in \{0, 1\} \end{aligned}$$

LP-Relaxation: statt $X_j \in \{0,1\}$ nur $0 \le X_j \le 1$.

LP-Relaxation lösen

Die LP-Relaxation ist nicht ganzzahlig:

$$X^* = (0{,}3,\; 1,\; 1,\; 0), \quad F_0^* = 660$$

$X_1 = 0{,}3$ ist gebrochen $\Rightarrow$ verzweige nach $X_1$, und zwar, da binär, in die Äste $X_1 = 0$ und $X_1 = 1$.

Reine Tiefensuche

Immer $X_j = 0$ zuerst, tief hinab: $P_2 = (0,1,1,0)$ ist ganzzahlig (3b) $\Rightarrow \underline{F} = 600$.

Zurück und rechts: $P_3$ mit $550{,}8 \le 600$, ausgelotet (3a).

Rechter Ast: $P_5$ verspricht $614{,}3$, aber $P_6$ und $P_7$ (beide 3a) bringen nichts Besseres.

$P_9$ (3a) und $P_{10}$ (unzulässig, 3c) beenden die Suche. $P_2$ bleibt optimal.

Optimum

Beste Auftragsauswahl

Aufträge 2 und 3: $X^* = (0, 1, 1, 0)$, $F^* = 600$.

Von $2^4 = 16$ möglichen Auftragskombinationen hat Branch & Bound nur einen Teil explizit geprüft. Der Rest war implizit ausgelotet: implizite vollständige Enumeration.

Kontrolle mit Julia

using JuMP, HiGHS
e = [200,350,250,180]; g = [10,15,12,14]; p = [12,30,16,10]
G, P, J = 30, 50, 1:4

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X[J], Bin)
@objective(modell, Max, sum(e[j]*X[j] for j in J))
@constraint(modell, sum(g[j]*X[j] for j in J) <= G)
@constraint(modell, sum(p[j]*X[j] for j in J) <= P)

optimize!(modell)
println("F* = ", round(Int, objective_value(modell)),
        ", angenommen: ", [j for j in J if value(X[j]) > 0.5])

F* = 600, angenommen: [2, 3]

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• Die LP-Relaxation lässt die Ganzzahligkeit weg und liefert eine obere Schranke.
• Branch & Bound verzweigt nach nicht ganzzahligen Variablen und lotet Teilprobleme über Schranken aus.
• Ein Teilproblem ist erledigt, wenn es ganzzahlig ist oder seine obere Schranke $\underline{F}$ nicht übertrifft.
• Runden der LP-Lösung ist keine verlässliche Methode.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.