Besprechung 07: Modellierung & Klausurvorbereitung

Grundlagen Operations Research

Themen dieser Besprechung

Diese Besprechung deckt Block 6 ab: algebraische Modellierung (Vorlesungen 11 und 12), und dient zugleich der Klausurvorbereitung. Behandelte Inhalte: Modellierung, Bestellmengenplanung, Implementierung in Julia.

WichtigBonuspunkte in den Besprechungen

• Sie können die freiwilligen Aufgaben der Aufgabensammlung in den Besprechungen vorstellen und sich dafür bis zu 2 Bonuspunkte für die Klausur verdienen.
• Sie wählen frei, welche Aufgabe Sie vorstellen möchten. Möchten mehrere Studierende dieselbe Aufgabe vorstellen, entscheidet ein Losverfahren.
• Bereiten Sie sich so vor, dass Sie Ihre Ergebnisse zeigen können (Live-Rechnung, Fotos, Präsentation, ganz wie Sie möchten). Auch bei kleineren Fehlern sind Bonuspunkte möglich, wenn Sie sich ernsthaft mit der Aufgabe auseinandergesetzt haben.
• Die Lehrenden leiten die Diskussion, präsentieren aber keine Lösungen.

Aufgaben aus der Aufgabensammlung

Die folgenden Aufgaben sind freiwillig. Sie können sie in der Besprechung vorstellen (siehe Hinweise oben). Lösungen werden hier nicht veröffentlicht.

Aufgabe 1: Mathematische Modellierung

Gegeben sei das aus der Übung bekannte Bestellmengenplanungsproblem:

$$\begin{aligned} \text{minimiere } \; & F = \sum_{t \in \mathcal{T}} f \cdot X_t + h \cdot L_t \\ \text{u.d.N.} \quad & L_{t-1} + Q_t - d_t = L_t && \forall t \in \mathcal{T} \\ & Q_t \le u \cdot X_t && \forall t \in \mathcal{T} \\ & Q_t, L_t \ge 0 && \forall t \in \mathcal{T} \\ & X_t \in \{0, 1\} && \forall t \in \mathcal{T} \end{aligned}$$

Dabei bezeichnet $L_t$ den Lagerbestand am Ende der Periode $t$, dieselbe Größe, die in Übung 12 (und Vorlesung 11) $I_t$ heißt.

Zusätzlich sind die folgenden Nachfragewerte gegeben:

$t$	1	2	3	4	5	6	7
$d_t$	6	4	0	2	10	5	12

1. Gegeben ist ein Ausschnitt aus der aktuellen Lösung. Bestimmen Sie die zugehörigen von null verschiedenen Werte der Variablen $X_t$, $Q_t$ und $L_t$! (Hinweis: $u$ ist eine hinreichend große Zahl.)

$t$	1	2	3	4	5	6	7
$X_t$
$Q_t$				12			0
$L_t$	4				0		0

2. Bestimmen Sie den zur aktuellen Lösung aus Aufgabenteil a) gehörigen Zielfunktionswert (mit $f = 100$ und $h = 1$).

3. Überprüfen Sie in Julia, ob die aktuelle Lösung aus Aufgabenteil a) optimal ist (mit $f = 100$ und $h = 1$).

4. Wie verändert sich die optimale Lösung, wenn $u = 10$ gilt?

Aufgabe 2: Mathematische Modellierung in Julia

Es ist das folgende lineare Optimierungsproblem in expliziter Form gegeben:

$$\begin{aligned} \text{maximiere } \; & F = 90 X_1 + 50 X_2 + 70 X_3 + 40 X_4 \\ \text{u.d.N.} \quad & 2 X_1 - X_2 + X_3 + 2 X_4 \le 30 \\ & X_1 + 2 X_2 + 3 X_3 - X_4 \le 24 \\ & 3 X_1 + 2 X_2 - X_3 + 2 X_4 \le 36 \\ & X_1, X_2, X_3, X_4 \ge 0 \end{aligned}$$

1. Stellen Sie das Optimierungsproblem in impliziter Form dar.

2. Implementieren Sie das Modell in impliziter Form in Julia (JuMP). Lösen Sie das Modell und geben Sie den optimalen Zielfunktionswert sowie die optimalen Gütermengen $X_1, \dots, X_4$ an.

3. Welche Werte nehmen die Simplex-Multiplikatoren $\pi_1$, $\pi_2$ und $\pi_3$ an?

4. Wie würde sich der Zielfunktionswert verändern, wenn die Menge von Gut 1 um eine marginale Einheit erhöht würde (reduzierte Kosten)?

Klausurvorbereitung

WichtigKlausurformat

• 90 Minuten Bearbeitungszeit, 90 Punkte, dazu bis zu 8 Bonuspunkte (vgl. Vorlesung 1).
• Präsenzklausur auf Papier; erlaubt sind ein nicht programmierbarer Taschenrechner und ein zweiseitig, handschriftlich beschriebenes DIN-A4-Blatt.
• Bonuspunkte zählen erst ab einer bestandenen Klausur (mind. 4,0).
• Die organisatorischen Details (Ort, Termin, Identitätskontrolle) werden je Semester rechtzeitig über STiNE/OpenOlat angekündigt.

Bringen Sie Ihre Fragen zur Klausur mit. Diese Sitzung ist der richtige Ort dafür.