Vorlesung 06: Graphentheorie

Grundlagen Operations Research

Grundbegriffe

Netze überall

Vlćek u. a. (2024)

Knoten, Kanten, Pfeile

• Knotenmenge $\mathcal{V}$: die Objekte (Orte, Stationen, …).
• Kante $[i, j] \in \mathcal{E}$: ungerichtete Verbindung.
• Pfeil $(i, j) \in \vec{\mathcal{E}}$: gerichtete Verbindung.
• Bewertung $\lambda_{ij}$: Kosten, Distanz oder Zeit einer Kante bzw. eines Pfeils.

Ein schlichter Graph hat keine Schlingen und keine parallelen Kanten; ein Digraph ist ein endlicher, schlichter, gerichteter Graph.

Gerichtet und ungerichtet

Ungerichteter Graph

Digraph

Spezielle Graphen

• Zusammenhängend: unter Vernachlässigung der Richtung sind alle Knoten direkt oder indirekt verbunden.
• Baum: zusammenhängend und ohne Kreis.
• 1-Baum: zusammenhängend mit genau einem Kreis.

Der Kürzeste-Wege-Baum, den wir gleich berechnen, ist ein solcher Baum.

Speicherung

Warum kompakt speichern?

Eine Knoten-Knoten-Matrix braucht $|\mathcal{V}|^2$ Einträge, bei dünn besetzten Netzen enorme Verschwendung.

Besser: nur die tatsächlich vorhandenen Pfeile speichern (Vorwärtsstern).

Vorwärtsstern

Zwei Felder genügen:

• Ein Pfeilfeld $B$ listet alle Pfeile $(i_k, j_k)$ mit Bewertung $\lambda_{i_k j_k}$, sortiert nach Startknoten.
• Ein Knotenfeld $A$ speichert je Knoten $i$ den Index $k_i$ seines ersten Pfeils in $B$.

Die Nachfolger von $i$ stehen dann zusammenhängend zwischen $k_i$ und $k_{i+1} - 1$. Der Speicherbedarf sinkt von $\mathcal{O}(|\mathcal{V}|^2)$ auf $\mathcal{O}(|\mathcal{V}| + |\vec{\mathcal{E}}|)$.

Vorwärtsstern am Beispiel

$i$	1	2	3	4	5	(6)
$k_i$	1	3	4	5	7	9

Knotenfeld $A$

Das Pfeilfeld $B$ listet darunter alle acht Pfeile, nach Startknoten sortiert.

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$(i_k, j_k)$	(1,2)	(1,3)	(2,4)	(3,2)	(4,3)	(4,5)	(5,3)	(5,4)
$\lambda_{i_k j_k}$	25	35	15	45	15	45	25	35

Nachfolger nachschlagen

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$(i_k, j_k)$	(1,2)	(1,3)	(2,4)	(3,2)	(4,3)	(4,5)	(5,3)	(5,4)
$\lambda_{i_k j_k}$	25	35	15	45	15	45	25	35

Frage: Wie finden Sie die Nachfolger von Knoten 4?

Knotenfeld $A$: $k_4 = 5$ und $k_5 - 1 = 6$ $\Rightarrow$ die Pfeile $(4,3)$ und $(4,5)$, ohne die Matrix zu durchsuchen.

Der Rückwärtsstern

Für Vorgänger-Fragen (z. B. in der Netzplantechnik) sortiert man dieselben Pfeile nach dem Zielknoten:

• Ein Pfeilfeld $C$ listet in Zeile $n$ die Nummer $\tilde k_n$ eines Pfeils aus $B$, sortiert nach Zielknoten.
• Ein Knotenfeld $D$ speichert je Knoten $j$ den Index $n_j$ seines ersten Eintrags in $C$.

Die Vorgänger von $j$ stehen dann zwischen $n_j$ und $n_{j+1} - 1$ in $C$.

Rückwärtsstern am Beispiel

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\tilde k_n$	1	4	2	5	7	3	8	6

Pfeilfeld $C$

$j$	1	2	3	4	5	(6)
$n_j$	1	1	3	6	8	9

Knotenfeld $D$

Die Vorgänger von Knoten 3: $n_3 = 3$ und $n_4 - 1 = 5$ $\Rightarrow$ die Pfeile $2, 5, 7$, also $(1,3)$, $(4,3)$ und $(5,3)$.

Kürzeste Wege

Aufgabenstellung

Gesucht: die kürzesten Wege von einem Startknoten $q$ (Quelle) zu allen anderen Knoten.

• $\lambda_{ij}$: Bewertung des Pfeils $(i, j)$ (Zeit, Distanz, Kosten).
• $\mathcal{N}(i)$: Menge der Nachfolger von $i$.
• $D[j]$: bisher kürzeste Entfernung von $q$ nach $j$; Start: $D[q] = 0$, sonst $\infty$.
• $R[j]$: bester Vorgänger von $j$ (zum Rekonstruieren des Weges).

Der FIFO-Algorithmus

TippIdee

Knoten werden in der Reihenfolge einer FIFO-Warteschlange abgearbeitet. Findet man einen kürzeren Weg zu $j$, wird $D[j]$ aktualisiert und $j$ hinten angestellt: solange, bis die Schlange leer ist.

Ein Knoten steht höchstens einmal gleichzeitig in der Schlange, kann aber insgesamt mehrfach bearbeitet werden (Label-Correcting).

Iterative Vorgehensweise

Schlange mit Kopf $H$ und Ende $T$; Start $H = T = q$.

• Für jeden Nachfolger $j \in \mathcal{N}(H)$: ist $D[j] > D[H] + \lambda_{H,j}$?
• Falls ja: $D[j] := D[H] + \lambda_{H,j}$, $R[j] := H$, und $j$ hinten einreihen (falls nicht bereits enthalten).
• Ist $H = T$: Schlange leer $\Rightarrow$ Abbruch.
• Sonst $H$ auf den nächsten Knoten der Liste setzen.

Die Schlange im Feld $S$

Die markierten Knoten stehen in einem Feld $S$, ein Eintrag je Knoten:

• $S[j]$: der Knoten, der in der Schlange auf $j$ folgt.
• $j$ hinten einreihen: $S[T] := j$ und $T := j$.
• Nächster Kopf: $H := S[H]$.

Die FIFO-Liste L hält den ganzen Lauf fest: Abgearbeitete Knoten werden gestrichen, die übrigen bilden die aktuelle Schlange.

Beispiel: Busliniennetz

Kürzeste Wege von Knoten $q = 1$ zu allen anderen.

Frage: Welchen Weg vermuten Sie von 1 nach 3: direkt oder über Umwege?

TippGleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie suchen Sie die kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten. Für jeden Knoten wählen Sie den Pfeil, über den er erreicht wird. Stimmt Ihre Vermutung zu Knoten 3?

Sie sind dran

Der Ablauf im Detail

Jetzt rechnet FIFO dasselbe, Knoten für Knoten.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	∞	∞	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	–	–	–	–	–	–

L = (1)

Start: $H = T = q = 1$.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	1	1	–	–	–	–

L = (1, 2, 3)

Knoten 1: beide Nachfolger erhalten Marken und stellen sich hinten an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	∞	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	–	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6)

Knoten 2: 4 und 6 sind neu. Für 3 gilt $11 + 25 = 36 > 35$: keine Korrektur.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	53	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	3	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5)

Knoten 3: Knoten 5 erhält $35 + 18 = 53$.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	53	70	∞
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	–

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3)

Knoten 4 korrigiert: $23 + 10 = 33 < 35$. Knoten 3 stellt sich erneut an! Auch $D[6] = 70$ (6 wartet bereits).

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	53	70	88
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	6

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7)

Knoten 6: Knoten 7 erhält $70 + 18 = 88$ und stellt sich hinten an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	53	64	78
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6)

Knoten 5 korrigiert 6 ($53 + 11 = 64 < 70$) und 7 ($53 + 25 = 78 < 88$). 6 stellt sich erneut an, 7 wartet.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	64	78
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5)

Knoten 3 korrigiert 5 ($33 + 18 = 51 < 53$). 5 stellt sich erneut an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	64	78
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5)

Knoten 7 hat keine Nachfolger, es ändert sich nichts.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	64	78
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5)

Knoten 6 prüft 7: $64 + 18 = 82 > 78$, also keine Korrektur.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 7)

Knoten 5 korrigiert 6 ($51 + 11 = 62 < 64$) und 7 ($51 + 25 = 76 < 78$). Beide stellen sich erneut an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 7)

Knoten 6 prüft 7: $62 + 18 = 80 > 76$, also keine Korrektur.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 7)

Knoten 7 hat keine Nachfolger. Wegen $H = T$ ist die Schlange leer: Abbruch.

Ergebnis als Baum

Die roten Pfeile bilden den Kürzeste-Wege-Baum.

WichtigKürzeste Distanzen

$$D = (0,\, 11,\, 33,\, 23,\, 51,\, 62,\, 76)$$

FIFO-LIFO

Der FIFO-LIFO-Algorithmus

TippIdee

Ein Knoten in der Liste löst Korrekturen bei seinen Nachfolgern aus, bei deren Nachfolgern usw. Muss er erneut hinein, lohnt es nicht, erst die Knoten abzuarbeiten, die er vorher hineingebracht hat: Sie werden voraussichtlich wieder korrigiert.

Wer zum wiederholten Mal in die Liste kommt, wird deshalb vorne hinter dem Kopf eingereiht: das FIFO-LIFO-Prinzip.

Vorne oder hinten?

Frage: Woran erkennen Sie, dass ein Knoten schon einmal in der Liste stand?

WichtigErkennungsregel

Bis auf $q$ starten alle Knoten mit $D[j] = \infty$. Ist $D[j]$ vor der Korrektur schon endlich, stand $j$ schon in der Liste. Steht er nicht mehr in der Schlange, ist er bereits bearbeitet: Er kommt vorne hin.

Ein zusätzliches Feld ginge auch, ist so aber nicht nötig.

Vorne einreihen im Feld $S$

Ausschnitt aus einem Lauf mit sieben Knoten:

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$S[j]$	–	–	6	–	3	4	–

L = (5, 3, 6, 4)

Kopf $H = 5$, Ende $T = 4$. Knoten 1 ist zum zweiten Mal aufzunehmen.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$S[j]$	3	–	6	–	1	4	–

L = (5, 1, 3, 6, 4)

$S[1] := S[5] = 3$, dann $S[5] := 1$ (allgemein $S[j] := S[H]$ und $S[H] := j$).

Ablauf von FIFO-LIFO

Start wie bei FIFO: $H = T = q$.

• Für jeden Nachfolger $j \in \mathcal{N}(H)$: ist $D[j] > D[H] + \lambda_{H,j}$?
• Falls ja: $D[j] := D[H] + \lambda_{H,j}$, $R[j] := H$; steht $j$ nicht in der Schlange, wird er eingereiht:
• hinten, falls bisher $D[j] = \infty$: $S[T] := j$, $T := j$;
• sonst vorne hinter $H$: $S[j] := S[H]$, $S[H] := j$ (ist $H = T$, auch $T := j$).
• Ist $H = T$: Abbruch; sonst $H := S[H]$.

FIFO-LIFO am Busliniennetz

Dasselbe Netz, aber wer erneut markiert wird, kommt vorne hin.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	∞	∞	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	–	–	–	–	–	–

L = (1)

Start: $H = T = q = 1$.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	1	1	–	–	–	–

L = (1, 2, 3)

Knoten 1: beide Nachfolger erhalten erstmals Marken und stellen sich hinten an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	∞	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	–	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6)

Knoten 2: 4 und 6 sind neu und kommen hinten hin. Für 3 gilt $11 + 25 = 36 > 35$: keine Korrektur.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	53	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	3	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5)

Knoten 3: Knoten 5 erhält $35 + 18 = 53$ und stellt sich hinten an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	53	70	∞
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	–

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5)

Knoten 4 korrigiert 3 ($23 + 10 = 33 < 35$). $D[3]$ war endlich: 3 kommt vorne hin. Auch $D[6] = 70$ (6 wartet).

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	70	∞
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	–

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5)

Knoten 3 ist sofort wieder dran und korrigiert 5 ($33 + 18 = 51 < 53$), bevor 5 überhaupt bearbeitet wird.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	70	88
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	6

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5, 7)

Knoten 6: Knoten 7 erhält erstmals $70 + 18 = 88$ und stellt sich hinten an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 7)

Knoten 5 korrigiert 6 ($51 + 11 = 62 < 70$) und 7 ($51 + 25 = 76 < 88$). 6 kommt vorne hin, 7 wartet.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 7)

Knoten 6 prüft 7: $62 + 18 = 80 > 76$, also keine Korrektur.

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 7)

Knoten 7 hat keine Nachfolger. Wegen $H = T$ ist die Schlange leer: Abbruch.

Varianten des Verfahrens

• FIFO-LIFO braucht am Busliniennetz 9 statt 12 Iterationen bei gleichen Distanzen: 5 und 7 kommen nur einmal dran. Das spart nur, wenn Knoten erneut in die Schlange kommen; sonst sind beide gleich schnell.
• FIFO-FIFO: mehrere erneut aufzunehmende Knoten behalten ihre Reihenfolge, eingefügt hinter dem zuletzt eingefügten Knoten.

Beide Varianten reduzieren überflüssige Aktualisierungen.

Netzwerkfluss

Kürzeste Wege als LP

Kürzeste Wege lassen sich als Netzwerkflussproblem formulieren: Wir schicken von $q$ eine Einheit zu jedem anderen Knoten.

• $c_{ij}$: Kosten pro Mengeneinheit auf Pfeil $(i, j)$.
• $X_{ij}$: Transportmenge (Fluss) auf Pfeil $(i, j)$.

Ist nur der kürzeste Weg zu einem Zielknoten $s$ (Senke) gesucht, fließt genau eine Einheit von $q$ nach $s$.

Das Modell

$$\text{Minimiere } F = \sum_{(i,j) \in \vec{\mathcal{E}}} c_{ij}\, X_{ij}$$

Flusserhaltung (Zufluss $-$ Abfluss $=$ Bedarf) für jeden Knoten $i$:

$$\sum_{j:(j,i)} X_{ji} - \sum_{j:(i,j)} X_{ij} = \begin{cases} 1 - |\mathcal{V}| & i = q \\ 1 & \text{sonst} \end{cases}$$

Das Modell am Beispiel

$$\text{Minimiere } F = 11 X_{12} + 35 X_{13} + 25 X_{23} + \ldots + 18 X_{67}$$

Flusserhaltung, links die Knoten 1 bis 4, rechts 5 bis 7:

$$\begin{aligned} -X_{12} - X_{13} &= -6 \\ X_{12} - X_{23} - X_{24} - X_{26} &= 1 \\ X_{13} + X_{23} + X_{43} - X_{35} &= 1 \\ X_{24} - X_{43} - X_{46} &= 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} X_{35} - X_{56} - X_{57} &= 1 \\ X_{26} + X_{46} + X_{56} - X_{67} &= 1 \\ X_{57} + X_{67} &= 1 \\ X_{12}, X_{13}, \ldots, X_{67} &\ge 0 \end{aligned}$$

Kontrolle mit Julia

using JuMP, HiGHS

kanten = [(1,2,11),(1,3,35),(2,3,25),(2,4,12),(4,3,10),(3,5,18),
          (2,6,62),(4,6,47),(5,6,11),(5,7,25),(6,7,18)]
V, q = 1:7, 1

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X[e in kanten] >= 0)                    # Fluss je Pfeil
@objective(modell, Min, sum(e[3] * X[e] for e in kanten)) # e[3]: Kosten

for i in V                                             # Flusserhaltung
    zu = sum(X[e] for e in kanten if e[2] == i; init = 0.0)
    ab = sum(X[e] for e in kanten if e[1] == i; init = 0.0)
    @constraint(modell, zu - ab == (i == q ? 1 - length(V) : 1))
end
optimize!(modell)
println("Gesamtkosten des Flusses: F* = ", objective_value(modell))

Gesamtkosten des Flusses: F* = 256.0

Der optimale Fluss

Der Fluss nutzt genau den Kürzeste-Wege-Baum:

$X_{12} = 6$, $X_{24} = 5$, $X_{43} = 4$, $X_{35} = 3$, $X_{56} = 1$, $X_{57} = 1$.

WichtigSchöner Zusammenhang

$$F^* = 256 = \sum_j D[j]$$ Die Flusskosten sind die Summe aller kürzesten Entfernungen.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• Ein Graph besteht aus Knoten und (gerichteten) Kanten mit Bewertungen.
• Die kompakte Speicherung (Vorwärtsstern) spart bei dünnen Netzen enorm Speicher.
• Der FIFO-Algorithmus bestimmt kürzeste Wege von $q$ zu allen Knoten (Label-Correcting).
• FIFO-LIFO reiht erneut aufzunehmende Knoten vorne ein und spart so Iterationen, wenn Marken korrigiert werden.
• Kürzeste Wege sind ein Spezialfall des Netzwerkflussproblems, lösbar als LP.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.

Vlćek, Tobias, Knut Haase, Malte Fliedner, und Tobias Cors. 2024. „Police Service District Planning“. OR Spectrum 46 (4): 1029–61. https://doi.org/10.1007/s00291-024-00745-3.