Vorlesung 06: Graphentheorie

Grundlagen Operations Research

Grundbegriffe

Netze überall

Knoten, Kanten, Pfeile

Knotenmenge $\mathcal{V}$ : die Objekte (Orte, Stationen, …).
Kante $[i, j] \in \mathcal{E}$ : ungerichtete Verbindung.
Pfeil $(i, j) \in \vec{\mathcal{E}}$ : gerichtete Verbindung.
Bewertung $\lambda_{ij}$ : Kosten, Distanz oder Zeit einer Kante bzw. eines Pfeils.

Ein schlichter Graph hat keine Schlingen und keine parallelen Kanten; ein Digraph ist ein endlicher, schlichter, gerichteter Graph.

Gerichtet und ungerichtet

Ungerichteter Graph

Digraph

Spezielle Graphen

Zusammenhängend: unter Vernachlässigung der Richtung sind alle Knoten direkt oder indirekt verbunden.
Baum: zusammenhängend und ohne Kreis.
1-Baum: zusammenhängend mit genau einem Kreis.

Der Kürzeste-Wege-Baum, den wir gleich berechnen, ist ein solcher Baum.

Kompakte Speicherung

Warum kompakt speichern?

Eine Knoten-Knoten-Matrix braucht $|\mathcal{V}|^2$ Einträge, bei dünn besetzten Netzen enorme Verschwendung.

Besser: nur die tatsächlich vorhandenen Pfeile speichern (Vorwärtsstern).

Vorwärtsstern

Zwei Felder genügen:

Ein Pfeilfeld $B$ listet alle Pfeile $(i_k, j_k)$ mit Bewertung $\lambda_{i_k j_k}$ , sortiert nach Startknoten.
Ein Knotenfeld $A$ speichert je Knoten $i$ den Index $k_i$ seines ersten Pfeils in $B$ .

Die Nachfolger von $i$ stehen dann zusammenhängend zwischen $k_i$ und $k_{i+1} - 1$ . Der Speicherbedarf sinkt von $\mathcal{O}(|\mathcal{V}|^2)$ auf $\mathcal{O}(|\mathcal{V}| + |\vec{\mathcal{E}}|)$ .

Vorwärtsstern am Beispiel

$i$	1	2	3	4	5	(6)
$k_i$	1	3	4	5	7	9

Knotenfeld $A$

Das Pfeilfeld $B$ listet darunter alle acht Pfeile, nach Startknoten sortiert.

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$(i_k, j_k)$	(1,2)	(1,3)	(2,4)	(3,2)	(4,3)	(4,5)	(5,3)	(5,4)
$\lambda_{i_k j_k}$	25	35	15	45	15	45	25	35

Nachfolger nachschlagen

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$(i_k, j_k)$	(1,2)	(1,3)	(2,4)	(3,2)	(4,3)	(4,5)	(5,3)	(5,4)
$\lambda_{i_k j_k}$	25	35	15	45	15	45	25	35

Frage: Wie finden Sie die Nachfolger von Knoten 4?

Knotenfeld $A$ : $k_4 = 5$ und $k_5 - 1 = 6$ $\Rightarrow$ die Pfeile $(4,3)$ und $(4,5)$ , ohne die Matrix zu durchsuchen.

Der Rückwärtsstern

Für Vorgänger-Fragen (z. B. in der Netzplantechnik) sortiert man dieselben Pfeile nach dem Zielknoten:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\tilde k_n$	1	4	2	5	7	3	8	6

Feld $C$ : Pfeilindizes, nach Zielknoten sortiert. Dazu ein Einstiegsfeld $D$ je Zielknoten ( $1, 1, 3, 6, 8, 9$ ).

Die Vorgänger von Knoten 3: Positionen $3$ bis $5$ $\Rightarrow$ Pfeile $2, 5, 7$ , also $(1,3)$ , $(4,3)$ und $(5,3)$ .

Kürzeste Wege

Aufgabenstellung

Gesucht: die kürzesten Wege von einem Startknoten $q$ zu allen anderen Knoten.

$\lambda_{ij}$ : Bewertung des Pfeils $(i, j)$ (Zeit, Distanz, Kosten).
$\mathcal{N}(i)$ : Menge der Nachfolger von $i$ .
$D[j]$ : bisher kürzeste Entfernung von $q$ nach $j$ ; Start: $D[q] = 0$ , sonst $\infty$ .
$R[j]$ : bester Vorgänger von $j$ (zum Rekonstruieren des Weges).

Der FIFO-Algorithmus

Idee

Knoten werden in der Reihenfolge einer FIFO-Warteschlange abgearbeitet. Findet man einen kürzeren Weg zu $j$ , wird $D[j]$ aktualisiert und $j$ hinten angestellt: solange, bis die Schlange leer ist.

Ein Knoten steht höchstens einmal gleichzeitig in der Schlange, kann aber insgesamt mehrfach bearbeitet werden (Label-Correcting).

Iterative Vorgehensweise

Schlange mit Kopf $H$ und Ende $T$ ; Start $H = T = q$ .

Für jeden Nachfolger $j \in \mathcal{N}(H)$ : ist $D[j] > D[H] + \lambda_{H,j}$ ?
Falls ja: $D[j] := D[H] + \lambda_{H,j}$ , $R[j] := H$ , und $j$ hinten einreihen (falls nicht bereits enthalten).
Ist $H = T$ : Schlange leer $\Rightarrow$ Abbruch.
Sonst $H$ auf den nächsten Knoten der Liste setzen.

Beispiel: Busliniennetz

Kürzeste Wege von Knoten $q = 1$ zu allen anderen.

Frage: Welchen Weg vermuten Sie von 1 nach 3: direkt oder über Umwege?

Der Ablauf im Detail

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	∞	∞	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	–	–	–	–	–	–

L = (1)

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	∞	∞	∞	∞
$R[j]$	–	1	1	–	–	–	–

L = (1, 2, 3)

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	∞	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	–	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6)

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	35	23	53	73	∞
$R[j]$	–	1	1	2	3	2	–

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5)

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	53	70	∞
$R[j]$	–	1	4	2	3	4	–

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3)

$j$	1	2	3	4	5	6	7
$D[j]$	0	11	33	23	51	62	76
$R[j]$	–	1	4	2	3	5	5

L = (1, 2, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 7)

Start: $H = T = q = 1$ .

Knoten 1: beide Nachfolger erhalten Marken und stellen sich hinten an.

Knoten 2: 4 und 6 sind neu. Für 3 gilt $11 + 25 = 36 > 35$ : keine Korrektur.

Knoten 3: Knoten 5 erhält $35 + 18 = 53$ .

Knoten 4 korrigiert: $23 + 10 = 33 < 35$ . Knoten 3 stellt sich erneut an! Auch $D[6] = 70$ (6 wartet bereits).

So läuft es weiter (5 korrigiert 6 und 7, das erneute 3 korrigiert 5, …), bis die Schlange leer ist.

Ergebnis als Baum

Die roten Pfeile bilden den Kürzeste-Wege-Baum.

Kürzeste Distanzen

$D = (0,\, 11,\, 33,\, 23,\, 51,\, 62,\, 76)$

Varianten des Verfahrens

FIFO-LIFO: ein erneut aufzunehmender Knoten wird vorne hinter den Schlangenkopf gesetzt, seine veralteten Nachfolger werden so zuerst korrigiert.
FIFO-FIFO: mehrere erneut aufzunehmende Knoten behalten ihre Reihenfolge, eingefügt hinter dem zuletzt eingefügten Knoten.

Beide Varianten reduzieren überflüssige Aktualisierungen.

Netzwerkflussproblem

Kürzeste Wege als LP

Kürzeste Wege lassen sich als Netzwerkflussproblem formulieren: Wir schicken von $q$ eine Einheit zu jedem anderen Knoten.

$c_{ij}$ : Kosten pro Mengeneinheit auf Pfeil $(i, j)$ .
$X_{ij}$ : Transportmenge (Fluss) auf Pfeil $(i, j)$ .

Das Modell

$\text{Minimiere } F = \sum_{(i,j) \in \vec{\mathcal{E}}} c_{ij}\, X_{ij}$

Flusserhaltung (Zufluss $-$ Abfluss $=$ Bedarf) für jeden Knoten $i$ :

$\sum_{j:(j,i)} X_{ji} - \sum_{j:(i,j)} X_{ij} = \begin{cases} 1 - |\mathcal{V}| & i = q \\ 1 & \text{sonst} \end{cases}$

Kontrolle mit Julia

using JuMP, HiGHS

kanten = [(1,2,11),(1,3,35),(2,3,25),(2,4,12),(4,3,10),(3,5,18),
          (2,6,62),(4,6,47),(5,6,11),(5,7,25),(6,7,18)]
V, q = 1:7, 1

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, X[e in kanten] >= 0)                      # Fluss je Pfeil
@objective(modell, Min, sum(e[3] * X[e] for e in kanten))   # e = (i, j, Kosten)

for i in V                                             # Flusserhaltung
    zu = sum(X[e] for e in kanten if e[2] == i; init = 0.0)
    ab = sum(X[e] for e in kanten if e[1] == i; init = 0.0)
    @constraint(modell, zu - ab == (i == q ? 1 - length(V) : 1))
end

optimize!(modell)
println("Gesamtkosten des Flusses: F* = ", objective_value(modell))

Gesamtkosten des Flusses: F* = 256.0

Der optimale Fluss

Der Fluss nutzt genau den Kürzeste-Wege-Baum:

$X_{12} = 6$ , $X_{24} = 5$ , $X_{43} = 4$ , $X_{35} = 3$ , $X_{56} = 1$ , $X_{57} = 1$ .

Schöner Zusammenhang

$F^* = 256 = \sum_j D[j]$ Die Flusskosten sind die Summe aller kürzesten Entfernungen.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

Ein Graph besteht aus Knoten und (gerichteten) Kanten mit Bewertungen.
Die kompakte Speicherung (Vorwärtsstern) spart bei dünnen Netzen enorm Speicher.
Der FIFO-Algorithmus bestimmt kürzeste Wege von $q$ zu allen Knoten (Label-Correcting).
Kürzeste Wege sind ein Spezialfall des Netzwerkflussproblems, lösbar als LP.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.

Vlćek, Tobias, Knut Haase, Malte Fliedner, und Tobias Cors. 2024. „Police service district planning“. OR Spectrum, 1–33.