Netzplantechnik

Ein Projekt planen

Was ist ein Projekt?

Ein zeitlich, räumlich und sachlich begrenztes komplexes Arbeitsvorhaben mit einer bestimmten Zielsetzung.

Netzplantechnik

Zeitliche Planung der Vorgänge eines Projekts: Bestimmung der frühesten und spätesten Anfangs- und Endzeitpunkte.

Methoden im Überblick

CPM: Critical Path Method (USA, 1956), vorgangspfeilorientiert.
MPM: Metra Potential Method (Frankreich, 1957), vorgangsknotenorientiert.
PERT: stochastische Vorgangsdauern (Polaris-Rakete).
GERT / Simulation: stochastische Netzstrukturen (F&E-Projekte).

Wir betrachten den MPM-Netzplan: Vorgänge sind Knoten, Pfeile tragen Mindestabstände.

Vom Projekt zum Netzplan

Zwei Phasen der Netzplantechnik:

Strukturplanung: Vorgänge, Dauern und Anordnungsbeziehungen erheben; daraus entsteht der Netzplan.
Zeitplanung: früheste und späteste Zeitpunkte, Puffer und kritischen Weg berechnen.

Mit einem künstlichen Startvorgang $i = 0$ und Endvorgang $i = n$ hat jedes Projekt eine eindeutige Quelle und Senke.

Beispiel: Bau einer Lagerhalle

$i$	Vorgang	$t_i$	Vorgänger $(d_{h,i})$
1	Fundamente	3	–
2	Erdleitung	2	1 (−1)
3	Mauern	3	1 (1)
4	Dach	2	3 (0)
5	Boden	3	2 (0), 3 (1)
6	Tore einsetzen	1	4 (0)
7	Innen verputzen	2	5 (1), 6 (0)
8	Außen verputzen	2	6 (0)
9	Tor streichen	1	7 (0), 8 (0)

Der MPM-Netzplan

Knoten = Vorgänge (mit Dauer $t_i$ ), Pfeile = Mindestabstände $d_{h,i}$ .

Mindest- und Maximalabstände

Zwischen zwei Vorgängen $h$ und $i$ sind verschiedene Abstände möglich:

Anfangsfolge $d^A_{hi}$ : Anfang $h$ bis Anfang $i$ .
Normalfolge $d_{hi}$ : Ende $h$ bis Anfang $i$ .
Endfolge $d^E_{hi}$ : Ende $h$ bis Ende $i$ .
Sprungfolge $d^S_{hi}$ : Anfang $h$ bis Ende $i$ .

Jeder Abstand existiert auch als Maximalabstand $\bar d^{\,A}_{hi}, \bar d_{hi}, \bar d^{\,E}_{hi}, \bar d^{\,S}_{hi}$ : „höchstens so lange”.

Transformationsregeln

Alles wird in Normalfolgen umgerechnet; Maximalabstände werden zu negativen Mindestabständen in Gegenrichtung:

gegeben	Umrechnung	gegeben	Umrechnung
$d^A_{hi}$	$d_{hi} = d^A_{hi} - t_h$	$\bar d^{\,A}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,A}_{hi} - t_i$
$d_{hi}$	$d_{hi}$	$\bar d_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d_{hi} - t_h - t_i$
$d^E_{hi}$	$d_{hi} = d^E_{hi} - t_i$	$\bar d^{\,E}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,E}_{hi} - t_h$
$d^S_{hi}$	$d_{hi} = d^S_{hi} - t_h - t_i$	$\bar d^{\,S}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,S}_{hi}$

So entstehen Rückwärtspfeile und damit Zyklen im Netzplan.

Kurz geübt: Umrechnung

Zwischen $h$ ( $t_h = 2$ ) und $i$ ( $t_i = 3$ ) gilt der maximale Normalabstand $\bar d_{hi} = 10$ .

Frage: Welcher Pfeil entsteht daraus im Netzplan?

$d_{ih} = -\bar d_{hi} - t_h - t_i = -10 - 2 - 3 = -15$

Ein Rückwärtspfeil von $i$ nach $h$ mit Bewertung $-15$ .

Zeitplanung

Vorwärtsrechnung

Früheste Zeitpunkte, topologisch von $i = 0$ bis $n$ :

$\text{FAZ}_0 := 0, \qquad \text{FAZ}_i := \max_{h \in \mathcal{V}(i)}\{\text{FEZ}_h + d_{hi}\}, \qquad \text{FEZ}_i := \text{FAZ}_i + t_i$

$\text{FAZ}_i$ / $\text{FEZ}_i$ : frühester Anfangs- / Endzeitpunkt von Vorgang $i$ .

Kurz geübt: Vorwärts

Vorgang $i$ hat drei Vorgänger:

Vorgänger $h$	$\text{FEZ}_h$	$d_{hi}$
$a$	6	3
$b$	5	6
$c$	12	−4

Frage: Wie groß ist $\text{FAZ}_i$ ?

$\text{FAZ}_i = \max\{6+3,\; 5+6,\; 12-4\} = \mathbf{11}$

Rückwärtsrechnung

Späteste Zeitpunkte, von $i = n$ zurück bis $0$ :

$\text{SEZ}_n := \text{FEZ}_n, \qquad \text{SEZ}_i := \min_{j \in \mathcal{N}(i)}\{\text{SAZ}_j - d_{ij}\}, \qquad \text{SAZ}_i := \text{SEZ}_i - t_i$

$\text{SAZ}_i$ / $\text{SEZ}_i$ : spätester Anfangs- / Endzeitpunkt von Vorgang $i$ .

Kurz geübt: Rückwärts

Vorgang $i$ hat zwei Nachfolger:

Nachfolger $j$	$\text{SAZ}_j$	$d_{ij}$
$a$	14	2
$b$	12	−2

Frage: Wie groß ist $\text{SEZ}_i$ ?

$\text{SEZ}_i = \min\{14-2,\; 12-(-2)\} = \mathbf{12}$

Der Terminplan

Erst die Vorwärts-, dann die Rückwärtsrechnung:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_i$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_i$	3	4	7	9	11	10	14	12	15

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_i$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_i$	3	4	7	9	11	10	14	12	15
$\text{SAZ}_i$	0	6	4	9	8	11	12	12	14
$\text{SEZ}_i$	3	8	7	11	11	12	14	14	15

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_i$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_i$	3	4	7	9	11	10	14	12	15
$\text{SAZ}_i$	0	6	4	9	8	11	12	12	14
$\text{SEZ}_i$	3	8	7	11	11	12	14	14	15

Vorwärts, z. B. $\text{FAZ}_5 = \max\{\text{FEZ}_2 + 0,\; \text{FEZ}_3 + 1\} = \max\{4, 8\} = 8$ .

Rückwärts, z. B. $\text{SEZ}_3 = \min\{\text{SAZ}_4 - 0,\; \text{SAZ}_5 - 1\} = \min\{9, 7\} = 7$ .

Projektdauer $\text{FEZ}_9 = 15$ ; bei $1, 3, 5, 7, 9$ gilt $\text{FAZ}_i = \text{SAZ}_i$ , dazu gleich mehr.

Kritischer Weg & Puffer

Der kritische Weg

Kritischer Weg

Der längste Weg im Netzplan. Für jeden kritischen Vorgang gilt $\text{FAZ}_i = \text{SAZ}_i$ (kein Spielraum).

Kritische Vorgänge

Der kritische Weg ist $1 \to 3 \to 5 \to 7 \to 9$ .

Konsequenz

Verzögert sich ein kritischer Vorgang, verzögert sich das gesamte Projekt.

Pufferzeiten

Zeitspannen, um die ein Vorgang verschoben werden kann, ohne die Projektdauer zu erhöhen:

Gesamte Pufferzeit: $\text{GP}_i = \text{SAZ}_i - \text{FAZ}_i$ .
Freie Pufferzeit: $\text{FP}_i = \min_{j \in \mathcal{N}(i)}\{\text{FAZ}_j - d_{ij}\} - \text{FEZ}_i$ : Spielraum, wenn alle Nachfolger frühestmöglich beginnen.

Weitere Pufferzeiten

Freie Rückwärtspufferzeit: $\text{FRP}_i = \text{SAZ}_i - \max_{h \in \mathcal{V}(i)}\{\text{SEZ}_h + d_{hi}\}$ : Spielraum, wenn alle Vorgänger spätestmöglich enden.
Unabhängige Pufferzeit: $\text{UP}_i = \max\{0,\; \text{FP}_i + \text{FRP}_i - \text{GP}_i\}$ : Spielraum unabhängig von allen anderen Vorgängen.

Es gilt stets $\text{UP}_i \le \text{FP}_i, \text{FRP}_i \le \text{GP}_i$ .

Puffer im Beispiel

$i$	2	4	6	8
$\text{GP}_i$	4	2	2	2
$\text{FP}_i$	4	0	0	2
$\text{FRP}_i$	4	2	0	0
$\text{UP}_i$	4	0	0	0

Genau die Vorgänge mit $\text{GP}_i = 0$ sind kritisch: $1, 3, 5, 7, 9$ .

Nur Vorgang 2 (Erdleitung) ist völlig frei verschiebbar ( $\text{UP}_2 = 4$ ).

Netzpläne mit Zyklen

Wenn Maximalabstände gelten

Enthält der Netzplan Zyklen (z. B. durch Maximalabstände), versagt die topologische Reihenfolge.

Dann hilft ein FIFO-Verfahren wie bei den kürzesten Wegen: erst Vorwärts-, dann Rückwärtsrechnung, Knoten bei jeder Aktualisierung erneut in die FIFO-Liste aufnehmen.

Voraussetzung: alle Zyklen haben nichtpositive Länge. Ein Zyklus positiver Länge macht den Plan unzulässig.

Beispiel: Maximalabstand

Neue Vorgabe für die Lagerhalle: Vom Ende des Mauerns (3) bis zur Fertigstellung des Außenputzes (8) dürfen höchstens 6 ZE vergehen: $\bar d^{\,E}_{3,8} = 6$ .

Frage: Welcher Pfeil entsteht daraus?

Transformationsregel $d_{ih} = -\bar d^{\,E}_{hi} - t_h$ :

$d_{8,3} = -6 - t_3 = -6 - 3 = -9$

Der erweiterte Netzplan

Der Zyklus $3 \to 4 \to 6 \to 8 \to 3$ hat die Länge $3 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 2 - 9 = -1 \le 0$ : der Plan bleibt zulässig.

Neue späteste Zeitpunkte

Die Vorwärtsrechnung ändert sich nicht ( $\text{FEZ}_8 - 9 = 3 < 4$ ), aber rückwärts zieht der Pfeil die späten Zeitpunkte zusammen:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SAZ}_i$ (ohne)	0	6	4	9	8	11	12	12	14
$\text{SAZ}_i$ (mit Zyklus)	0	6	4	8	8	10	12	11	14

$\text{SEZ}_8 = \min\{\text{SAZ}_9 - 0,\; \text{SAZ}_3 - (-9)\} = \min\{14, 13\} = 13$ : die Puffer von $4, 6, 8$ schrumpfen auf $1$ .

Kontrolle mit Julia

Projektdauer als LP

Die Projektdauer ist der längste Weg, als LP formuliert:

using JuMP, HiGHS

t = Dict(1=>3,2=>2,3=>3,4=>2,5=>3,6=>1,7=>2,8=>2,9=>1)
# (Vorgänger h, Vorgang i, Mindestabstand d_hi)
kanten = [(1,2,-1),(1,3,1),(3,4,0),(2,5,0),(3,5,1),(4,6,0),
          (5,7,1),(6,7,0),(6,8,0),(7,9,0),(8,9,0)]

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, S[keys(t)] >= 0)                        # Anfangszeitpunkte (FAZ)
@variable(modell, C >= 0)                                 # Projektdauer
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], S[i] >= S[h] + t[h] + d)
@constraint(modell, [i in keys(t)], C >= S[i] + t[i])
@objective(modell, Min, C)

optimize!(modell)
println("Projektdauer = ", objective_value(modell))

Projektdauer = 15.0

Vorwärtsrechnung als LP

Frühestmögliche Zeitpunkte: minimiere die Summe aller Endzeitpunkte:

tv = [3, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1]

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, FAZ[1:9] >= 0)
@constraint(modell, FAZ[1] == 0)
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], FAZ[i] >= FAZ[h] + tv[h] + d)
@objective(modell, Min, sum(FAZ[i] + tv[i] for i in 1:9))   # min Σ FEZ
optimize!(modell)
println("FAZ = ", round.(Int, value.(FAZ)))

FAZ = [0, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 10, 14]

Rückwärtsrechnung als LP

Spätestmögliche Zeitpunkte: maximiere, bei fixiertem Projektende:

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, SAZ[1:9] >= 0)
@constraint(modell, SAZ[9] + tv[9] == 15)                 # SEZ_9 = FEZ_9*
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], SAZ[i] >= SAZ[h] + tv[h] + d)
@objective(modell, Max, sum(SAZ))
optimize!(modell)
println("SAZ = ", round.(Int, value.(SAZ)))

SAZ = [0, 6, 4, 9, 8, 11, 12, 12, 14]

Beide Vektoren stimmen mit dem Terminplan von vorhin überein.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

MPM-Netzplan: Vorwärtsrechnung liefert früheste, Rückwärtsrechnung späteste Zeitpunkte.
Der kritische Weg ist der längste Weg; kritische Vorgänge haben $\text{GP}_i = 0$ .
Pufferzeiten (GP, FP, FRP, UP) zeigen den Spielraum unkritischer Vorgänge.
Maximalabstände werden zu negativen Rückwärtspfeilen; die Zyklen löst ein FIFO-Verfahren.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.