Vorlesung 09: Netzplantechnik

Grundlagen Operations Research

Prof. Dr. Knut Haase

Netzplantechnik

Ein Projekt planen

Was ist ein Projekt?

Ein zeitlich, räumlich und sachlich begrenztes komplexes Arbeitsvorhaben mit einer bestimmten Zielsetzung.

Netzplantechnik

Zeitliche Planung der Vorgänge eines Projekts: Bestimmung der frühesten und spätesten Anfangs- und Endzeitpunkte.

Methoden im Überblick

• CPM: Critical Path Method (USA, 1956), vorgangspfeilorientiert.
• MPM: Metra Potential Method (Frankreich, 1957), vorgangsknotenorientiert.
• PERT: stochastische Vorgangsdauern (Polaris-Rakete).
• GERT / Simulation: stochastische Netzstrukturen (F&E-Projekte).

Wir betrachten den MPM-Netzplan: Vorgänge sind Knoten, Pfeile tragen Mindestabstände.

Vom Projekt zum Netzplan

Zwei Phasen der Netzplantechnik:

• Strukturplanung: Vorgänge, Dauern und Anordnungsbeziehungen erheben; daraus entsteht der Netzplan.
• Zeitplanung: früheste und späteste Zeitpunkte, Puffer und kritischen Weg berechnen.

Mit einem künstlichen Startvorgang $i = 0$ und Endvorgang $i = n$ hat jedes Projekt eine eindeutige Quelle und Senke.

Beispiel: Bau einer Lagerhalle

$i$	Vorgang	$t_i$	Vorgänger $(d_{h,i})$
1	Fundamente	3	–
2	Erdleitung	2	1 (−1)
3	Mauern	3	1 (1)
4	Dach	2	3 (0)
5	Boden	3	2 (0), 3 (1)
6	Tore einsetzen	1	4 (0)
7	Innen verputzen	2	5 (1), 6 (0)
8	Außen verputzen	2	6 (0)
9	Tor streichen	1	7 (0), 8 (0)

Der MPM-Netzplan

Knoten = Vorgänge (oben $i$ und $t_i$, die leeren Felder füllt gleich die Zeitplanung), Pfeile = Mindestabstände $d_{h,i}$.

Mindest- und Maximalabstände

Zwischen zwei Vorgängen $h$ und $i$ sind verschiedene Abstände möglich:

• Anfangsfolge $d^A_{hi}$: Anfang $h$ bis Anfang $i$.
• Normalfolge $d_{hi}$: Ende $h$ bis Anfang $i$.
• Endfolge $d^E_{hi}$: Ende $h$ bis Ende $i$.
• Sprungfolge $d^S_{hi}$: Anfang $h$ bis Ende $i$.

Jeder Abstand existiert auch als Maximalabstand $\bar d^{\,A}_{hi}, \bar d_{hi}, \bar d^{\,E}_{hi}, \bar d^{\,S}_{hi}$: „höchstens so lange“.

Transformationsregeln

Alles wird in Normalfolgen umgerechnet; Maximalabstände werden zu negativen Mindestabständen in Gegenrichtung:

gegeben	Umrechnung	gegeben	Umrechnung
$d^A_{hi}$	$d_{hi} = d^A_{hi} - t_h$	$\bar d^{\,A}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,A}_{hi} - t_i$
$d_{hi}$	$d_{hi}$	$\bar d_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d_{hi} - t_h - t_i$
$d^E_{hi}$	$d_{hi} = d^E_{hi} - t_i$	$\bar d^{\,E}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,E}_{hi} - t_h$
$d^S_{hi}$	$d_{hi} = d^S_{hi} - t_h - t_i$	$\bar d^{\,S}_{hi}$	$d_{ih} = -\bar d^{\,S}_{hi}$

So entstehen Rückwärtspfeile und damit Zyklen im Netzplan.

Kurz geübt: Umrechnung

Zwischen $h$ ($t_h = 2$) und $i$ ($t_i = 3$) gilt der maximale Normalabstand $\bar d_{hi} = 10$.

Frage: Welcher Pfeil entsteht daraus im Netzplan?

$$d_{ih} = -\bar d_{hi} - t_h - t_i = -10 - 2 - 3 = -15$$

Ein Rückwärtspfeil von $i$ nach $h$ mit Bewertung $-15$.

Gleich ausprobieren

Zurück zur Lagerhalle. Auf der nächsten Folie gehen Sie selbst Wege durch ihren Netzplan. Welcher Weg dauert am längsten?

Sie sind dran

Zeitplanung

Vorwärtsrechnung

Im Spiel haben Sie Wege einzeln durchgerechnet. Die Vorwärtsrechnung findet für jeden Vorgang den längsten Weg auf einmal, topologisch von $i = 0$ bis $n$:

$$\begin{aligned} \text{FAZ}_0 &:= 0 \\ \text{FAZ}_i &:= \max_{h \in \mathcal{V}(i)}\{\text{FEZ}_h + d_{hi}\} \\ \text{FEZ}_i &:= \text{FAZ}_i + t_i \end{aligned}$$

$\text{FAZ}_i$ / $\text{FEZ}_i$: frühester Anfangs- / Endzeitpunkt von Vorgang $i$.

Kurz geübt: Vorwärts

Vorgang $i$ hat drei Vorgänger:

Vorgänger $h$	$\text{FEZ}_h$	$d_{hi}$
$a$	6	3
$b$	5	6
$c$	12	−4

Frage: Wie groß ist $\text{FAZ}_i$?

$$\text{FAZ}_i = \max\{6+3,\; 5+6,\; 12-4\} = \mathbf{11}$$

Vorwärts im Netzplan

$\text{FAZ}_1 = 0$ (Projektstart), $\text{FEZ}_1 = 0 + 3 = 3$.

$\text{FAZ}_2 = \text{FEZ}_1 + d_{1,2} = 3 - 1 = 2$, $\text{FEZ}_2 = 2 + 2 = 4$.

$\text{FAZ}_3 = \text{FEZ}_1 + d_{1,3} = 3 + 1 = 4$, $\text{FEZ}_3 = 4 + 3 = 7$.

$\text{FAZ}_4 = \text{FEZ}_3 + d_{3,4} = 7 + 0 = 7$, $\text{FEZ}_4 = 7 + 2 = 9$.

$\text{FAZ}_5 = \max\{\text{FEZ}_2 + d_{2,5},\; \text{FEZ}_3 + d_{3,5}\} = \max\{4 + 0,\; 7 + 1\} = 8$, $\text{FEZ}_5 = 8 + 3 = 11$.

$\text{FAZ}_6 = \text{FEZ}_4 + d_{4,6} = 9 + 0 = 9$, $\text{FEZ}_6 = 9 + 1 = 10$.

$\text{FAZ}_7 = \max\{\text{FEZ}_5 + d_{5,7},\; \text{FEZ}_6 + d_{6,7}\} = \max\{11 + 1,\; 10 + 0\} = 12$, $\text{FEZ}_7 = 12 + 2 = 14$.

$\text{FAZ}_8 = \text{FEZ}_6 + d_{6,8} = 10 + 0 = 10$, $\text{FEZ}_8 = 10 + 2 = 12$.

$\text{FAZ}_9 = \max\{\text{FEZ}_7 + d_{7,9},\; \text{FEZ}_8 + d_{8,9}\} = \max\{14 + 0,\; 12 + 0\} = 14$, $\text{FEZ}_9 = 14 + 1 = 15$: Projektdauer 15.

Rückwärtsrechnung

Späteste Zeitpunkte, von $i = n$ zurück bis $0$:

$$\begin{aligned} \text{SEZ}_n &:= \text{FEZ}_n \\ \text{SEZ}_i &:= \min_{j \in \mathcal{N}(i)}\{\text{SAZ}_j - d_{ij}\} \\ \text{SAZ}_i &:= \text{SEZ}_i - t_i \end{aligned}$$

$\text{SAZ}_i$ / $\text{SEZ}_i$: spätester Anfangs- / Endzeitpunkt von Vorgang $i$.

Kurz geübt: Rückwärts

Vorgang $i$ hat zwei Nachfolger:

Nachfolger $j$	$\text{SAZ}_j$	$d_{ij}$
$a$	14	2
$b$	12	−2

Frage: Wie groß ist $\text{SEZ}_i$?

$$\text{SEZ}_i = \min\{14-2,\; 12-(-2)\} = \mathbf{12}$$

Rückwärts im Netzplan

$\text{SEZ}_9 = \text{FEZ}_9 = 15$ (Projektende), $\text{SAZ}_9 = 15 - 1 = 14$.

$\text{SEZ}_8 = \text{SAZ}_9 - d_{8,9} = 14 - 0 = 14$, $\text{SAZ}_8 = 14 - 2 = 12$.

$\text{SEZ}_7 = \text{SAZ}_9 - d_{7,9} = 14 - 0 = 14$, $\text{SAZ}_7 = 14 - 2 = 12$.

$\text{SEZ}_6 = \min\{\text{SAZ}_7 - d_{6,7},\; \text{SAZ}_8 - d_{6,8}\} = \min\{12 - 0,\; 12 - 0\} = 12$, $\text{SAZ}_6 = 12 - 1 = 11$.

$\text{SEZ}_5 = \text{SAZ}_7 - d_{5,7} = 12 - 1 = 11$, $\text{SAZ}_5 = 11 - 3 = 8$.

$\text{SEZ}_4 = \text{SAZ}_6 - d_{4,6} = 11 - 0 = 11$, $\text{SAZ}_4 = 11 - 2 = 9$.

$\text{SEZ}_3 = \min\{\text{SAZ}_4 - d_{3,4},\; \text{SAZ}_5 - d_{3,5}\} = \min\{9 - 0,\; 8 - 1\} = 7$, $\text{SAZ}_3 = 7 - 3 = 4$.

$\text{SEZ}_2 = \text{SAZ}_5 - d_{2,5} = 8 - 0 = 8$, $\text{SAZ}_2 = 8 - 2 = 6$.

$\text{SEZ}_1 = \min\{\text{SAZ}_2 - d_{1,2},\; \text{SAZ}_3 - d_{1,3}\} = \min\{6 - (-1),\; 4 - 1\} = 3$, $\text{SAZ}_1 = 3 - 3 = 0$.

Der Terminplan

Alle Werte als Tabelle:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_i$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_i$	3	4	7	9	11	10	14	12	15
$\text{SAZ}_i$	0	6	4	9	8	11	12	12	14
$\text{SEZ}_i$	3	8	7	11	11	12	14	14	15

Projektdauer $\text{FEZ}_9 = 15$; bei $1, 3, 5, 7, 9$ gilt $\text{FAZ}_i = \text{SAZ}_i$, dazu gleich mehr.

Gleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie rechnen Sie selbst, Vorgang für Vorgang, erst vorwärts, dann rückwärts. Unter „Neu“ kommen weitere Netzpläne: Welche Vorgänge sind dort kritisch?

Sie sind dran

Kritischer Weg

Der kritische Weg

Kritischer Weg

Der längste Weg im Netzplan. Für jeden kritischen Vorgang gilt $\text{FAZ}_i = \text{SAZ}_i$ (kein Spielraum).

Kritische Vorgänge

Der kritische Weg ist $1 \to 3 \to 5 \to 7 \to 9$.

Konsequenz

Verzögert sich ein kritischer Vorgang, verzögert sich das gesamte Projekt.

Pufferzeiten

Zeitspannen, um die ein Vorgang verschoben werden kann, ohne die Projektdauer zu erhöhen:

• Gesamte Pufferzeit: $\text{GP}_i = \text{SAZ}_i - \text{FAZ}_i$.
• Freie Pufferzeit: $\text{FP}_i = \min_{j \in \mathcal{N}(i)}\{\text{FAZ}_j - d_{ij}\} - \text{FEZ}_i$: Spielraum, wenn alle Nachfolger frühestmöglich beginnen.

Weitere Pufferzeiten

• Freie Rückwärtspufferzeit: $\text{FRP}_i = \text{SAZ}_i - \max_{h \in \mathcal{V}(i)}\{\text{SEZ}_h + d_{hi}\}$: Spielraum, wenn alle Vorgänger spätestmöglich enden.
• Unabhängige Pufferzeit: $\text{UP}_i = \max\{0,\; \text{FP}_i + \text{FRP}_i - \text{GP}_i\}$: Spielraum unabhängig von allen anderen Vorgängen.

Es gilt stets $\text{UP}_i \le \text{FP}_i, \text{FRP}_i \le \text{GP}_i$.

Puffer im Beispiel

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{GP}_i$	0	4	0	2	0	2	0	2	0
$\text{FP}_i$	0	4	0	0	0	0	0	2	0
$\text{FRP}_i$	0	4	0	2	0	0	0	0	0
$\text{UP}_i$	0	4	0	0	0	0	0	0	0

Genau die Vorgänge mit $\text{GP}_i = 0$ sind kritisch: $1, 3, 5, 7, 9$.

Nur Vorgang 2 (Erdleitung) ist völlig frei verschiebbar ($\text{UP}_2 = 4$).

Zyklen

Wenn Maximalabstände gelten

Enthält der Netzplan Zyklen (z. B. durch Maximalabstände), versagt die topologische Reihenfolge. Dann rechnet ein FIFO-Verfahren wie bei den kürzesten Wegen (Vorlesung 6):

• erst vorwärts, dann rückwärts;
• vorwärts wird geprüft, ob Zeitpunkte zu klein sind, rückwärts, ob sie zu groß sind;
• wer aktualisiert wird, kommt hinten in die Liste, sofern er nicht schon darin steht.

Voraussetzung: alle Zyklen haben nichtpositive Länge. Ein Zyklus positiver Länge macht den Plan unzulässig.

Beispiel: Maximalabstand

Neue Vorgabe für die Lagerhalle: Vom Ende des Mauerns (3) bis zur Fertigstellung des Außenputzes (8) dürfen höchstens 6 ZE vergehen: $\bar d^{\,E}_{3,8} = 6$.

Frage: Welcher Pfeil entsteht daraus?

Transformationsregel $d_{ih} = -\bar d^{\,E}_{hi} - t_h$:

$$d_{8,3} = -6 - t_3 = -6 - 3 = -9$$

Der erweiterte Netzplan

Der Zyklus $3 \to 4 \to 6 \to 8 \to 3$ hat die Länge $3 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 2 - 9 = -1 \le 0$: der Plan bleibt zulässig.

FIFO vorwärts

Liste mit Kopf $H$ und Ende $T$. Start: $\text{FAZ}_1 := 0$, $\text{FEZ}_1 := t_1$, alle anderen $\text{FAZ}_j := -\infty$; $H = T = 1$.

• Für jeden Nachfolger $j \in \mathcal{N}(H)$: ist $\text{FAZ}_j < \text{FEZ}_H + d_{Hj}$?
• Falls ja: $\text{FAZ}_j := \text{FEZ}_H + d_{Hj}$, $j$ hinten einreihen (falls nicht bereits enthalten).
• Ist $H = T$: Liste leer $\Rightarrow$ Abbruch.
• Sonst $H$ := nächster Knoten der Liste, $\text{FEZ}_H := \text{FAZ}_H + t_H$.

Vorwärts mit der FIFO-Liste

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	–	–	–	–	–	–	–	–

L = (1)

Start: $\text{FAZ}_1 = 0$, $\text{FEZ}_1 = 3$, alle anderen $\text{FAZ}_j = -\infty$; $H = T = 1$.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	–	–	–	–	–	–	–	–

L = (1, 2, 3)

$H = 1$: $\text{FAZ}_2 = 3 - 1 = 2$, 2 stellt sich an; $\text{FAZ}_3 = 3 + 1 = 4$, 3 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	−∞	4	−∞	−∞	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	4	–	–	–	–	–	–	–

L = (1, 2, 3, 5)

$H = 2$: $\text{FEZ}_2 = 2 + 2 = 4$; $\text{FAZ}_5 = 4 + 0 = 4$, 5 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	−∞	−∞	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	–	–	–	–	–	–

L = (1, 2, 3, 5, 4)

$H = 3$: $\text{FEZ}_3 = 4 + 3 = 7$; $\text{FAZ}_4 = 7 + 0 = 7$, 4 stellt sich an; $\text{FAZ}_5 = 7 + 1 = 8$ statt 4: korrigiert, 5 wartet schon.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	−∞	12	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	–	11	–	–	–	–

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7)

$H = 5$: $\text{FEZ}_5 = 8 + 3 = 11$; $\text{FAZ}_7 = 11 + 1 = 12$, 7 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	9	12	−∞	−∞
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	9	11	–	–	–	–

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7, 6)

$H = 4$: $\text{FEZ}_4 = 7 + 2 = 9$; $\text{FAZ}_6 = 9 + 0 = 9$, 6 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	9	12	−∞	14
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	9	11	–	14	–	–

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 9)

$H = 7$: $\text{FEZ}_7 = 12 + 2 = 14$; $\text{FAZ}_9 = 14 + 0 = 14$, 9 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	9	11	10	14	–	–

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 9, 8)

$H = 6$: $\text{FEZ}_6 = 9 + 1 = 10$; für 7: $10 + 0 = 10 \le \text{FAZ}_7 = 12$, keine Änderung; $\text{FAZ}_8 = 10 + 0 = 10$, 8 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	9	11	10	14	–	15

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 9, 8)

$H = 9$: $\text{FEZ}_9 = 14 + 1 = 15$; 9 hat keine Nachfolger.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{FAZ}_j$	0	2	4	7	8	9	12	10	14
$\text{FEZ}_j$	3	4	7	9	11	10	14	12	15

L = (1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 9, 8)

$H = 8$: $\text{FEZ}_8 = 10 + 2 = 12$; für 9: $12 + 0 = 12 \le \text{FAZ}_9 = 14$, keine Änderung; für 3: $12 - 9 = 3 \le \text{FAZ}_3 = 4$, keine Änderung. Liste leer: Abbruch.

Ergebnis vorwärts

Der Rückwärtspfeil hat vorwärts nichts geändert ($12 - 9 = 3 \le 4$): Die frühesten Zeitpunkte sind dieselben wie ohne Zyklus.

FIFO rückwärts

Start: $\text{SEZ}_n := \text{FEZ}_n$, $\text{SAZ}_n := \text{SEZ}_n - t_n$, alle anderen $\text{SEZ}_j := \infty$; $H = T = n$.

• Für jeden Vorgänger $j \in \mathcal{V}(H)$: ist $\text{SEZ}_j > \text{SAZ}_H - d_{jH}$?
• Falls ja: $\text{SEZ}_j := \text{SAZ}_H - d_{jH}$, $j$ hinten einreihen (falls nicht bereits enthalten).
• Ist $H = T$: Liste leer $\Rightarrow$ Abbruch.
• Sonst $H$ := nächster Knoten der Liste, $\text{SAZ}_H := \text{SEZ}_H - t_H$.

Rückwärts mit der FIFO-Liste

Jetzt greift der Zyklus: Zu den Vorgängern von 3 gehört auch 8.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	–	–	–	–	14

L = (9)

Start: $\text{SEZ}_9 = \text{FEZ}_9 = 15$, $\text{SAZ}_9 = 15 - 1 = 14$, alle anderen $\text{SEZ}_j = \infty$; $H = T = 9$.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	∞	∞	∞	∞	∞	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	–	–	–	–	14

L = (9, 7, 8)

$H = 9$: $\text{SEZ}_7 = 14 - 0 = 14$, 7 stellt sich an; $\text{SEZ}_8 = 14 - 0 = 14$, 8 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	∞	∞	∞	11	12	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	–	–	12	–	14

L = (9, 7, 8, 5, 6)

$H = 7$: $\text{SAZ}_7 = 14 - 2 = 12$; $\text{SEZ}_5 = 12 - 1 = 11$, 5 stellt sich an; $\text{SEZ}_6 = 12 - 0 = 12$, 6 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	∞	∞	∞	11	12	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	–	–	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6)

$H = 8$: $\text{SAZ}_8 = 14 - 2 = 12$; für 6: $12 - 0 = 12 \ge \text{SEZ}_6 = 12$, keine Änderung.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	8	7	∞	11	12	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	8	–	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3)

$H = 5$: $\text{SAZ}_5 = 11 - 3 = 8$; $\text{SEZ}_2 = 8 - 0 = 8$, 2 stellt sich an; $\text{SEZ}_3 = 8 - 1 = 7$, 3 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	∞	8	7	11	11	12	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	–	–	–	8	11	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4)

$H = 6$: $\text{SAZ}_6 = 12 - 1 = 11$; $\text{SEZ}_4 = 11 - 0 = 11$, 4 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	7	8	7	11	11	12	14	14	15
$\text{SAZ}_j$	–	6	–	–	8	11	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1)

$H = 2$: $\text{SAZ}_2 = 8 - 2 = 6$; $\text{SEZ}_1 = 6 - (-1) = 7$, 1 stellt sich an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	11	11	12	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	–	6	4	–	8	11	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8)

$H = 3$: $\text{SAZ}_3 = 7 - 3 = 4$; $\text{SEZ}_1 = 4 - 1 = 3$ statt 7: korrigiert, 1 wartet schon; $\text{SEZ}_8 = 4 - (-9) = 13$ statt 14, 8 stellt sich erneut an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	11	11	12	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	–	6	4	9	8	11	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8)

$H = 4$: $\text{SAZ}_4 = 11 - 2 = 9$; für 3: $9 - 0 = 9 \ge \text{SEZ}_3 = 7$, keine Änderung.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	11	11	12	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	0	6	4	9	8	11	12	12	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8)

$H = 1$: $\text{SAZ}_1 = 3 - 3 = 0$; 1 hat keine Vorgänger.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	11	11	11	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	0	6	4	9	8	11	12	11	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8, 6)

$H = 8$: $\text{SAZ}_8 = 13 - 2 = 11$; $\text{SEZ}_6 = 11 - 0 = 11$ statt 12, 6 stellt sich erneut an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	10	11	11	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	0	6	4	9	8	10	12	11	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8, 6, 4)

$H = 6$: $\text{SAZ}_6 = 11 - 1 = 10$; $\text{SEZ}_4 = 10 - 0 = 10$ statt 11, 4 stellt sich erneut an.

$j$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SEZ}_j$	3	8	7	10	11	11	14	13	15
$\text{SAZ}_j$	0	6	4	8	8	10	12	11	14

L = (9, 7, 8, 5, 6, 2, 3, 4, 1, 8, 6, 4)

$H = 4$: $\text{SAZ}_4 = 10 - 2 = 8$; für 3: $8 - 0 = 8 \ge \text{SEZ}_3 = 7$, keine Änderung. Liste leer: Abbruch.

Neue späteste Zeitpunkte

Die Vorwärtsrechnung ändert sich nicht ($\text{FEZ}_8 - 9 = 3 < 4$), aber rückwärts zieht der Pfeil die späten Zeitpunkte zusammen:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$\text{SAZ}_i$ (ohne)	0	6	4	9	8	11	12	12	14
$\text{SAZ}_i$ (mit Zyklus)	0	6	4	8	8	10	12	11	14

$\text{SEZ}_8 = \min\{\text{SAZ}_9 - 0,\; \text{SAZ}_3 - (-9)\} = \min\{14, 13\} = 13$: die Puffer von $4, 6, 8$ schrumpfen auf $1$.

Kontrolle mit Julia

Projektdauer als LP

Die Projektdauer ist der längste Weg, als LP formuliert:

using JuMP, HiGHS

t = Dict(1=>3,2=>2,3=>3,4=>2,5=>3,6=>1,7=>2,8=>2,9=>1)
# (Vorgänger h, Vorgang i, Mindestabstand d_hi)
kanten = [(1,2,-1),(1,3,1),(3,4,0),(2,5,0),(3,5,1),(4,6,0),
          (5,7,1),(6,7,0),(6,8,0),(7,9,0),(8,9,0)]

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, S[keys(t)] >= 0)   # Anfangszeitpunkte (FAZ)
@variable(modell, C >= 0)            # Projektdauer
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], S[i] >= S[h] + t[h] + d)
@constraint(modell, [i in keys(t)], C >= S[i] + t[i])
@objective(modell, Min, C)

optimize!(modell)
println("Projektdauer = ", objective_value(modell))

Projektdauer = 15.0

Vorwärtsrechnung als LP

Frühestmögliche Zeitpunkte: minimiere die Summe aller Endzeitpunkte:

tv = [3, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1]

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, FAZ[1:9] >= 0)
@constraint(modell, FAZ[1] == 0)
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], FAZ[i] >= FAZ[h] + tv[h] + d)
@objective(modell, Min, sum(FAZ[i] + tv[i] for i in 1:9))   # min Σ FEZ
optimize!(modell)
println("FAZ = ", round.(Int, value.(FAZ)))

FAZ = [0, 2, 4, 7, 8, 9, 12, 10, 14]

Rückwärtsrechnung als LP

Spätestmögliche Zeitpunkte: maximiere, bei fixiertem Projektende:

modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
@variable(modell, SAZ[1:9] >= 0)
@constraint(modell, SAZ[9] + tv[9] == 15)                 # SEZ_9 = FEZ_9*
@constraint(modell, [(h,i,d) in kanten], SAZ[i] >= SAZ[h] + tv[h] + d)
@objective(modell, Max, sum(SAZ))
optimize!(modell)
println("SAZ = ", round.(Int, value.(SAZ)))

SAZ = [0, 6, 4, 9, 8, 11, 12, 12, 14]

Beide Vektoren stimmen mit dem Terminplan von vorhin überein.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• MPM-Netzplan: Vorwärtsrechnung liefert früheste, Rückwärtsrechnung späteste Zeitpunkte.
• Der kritische Weg ist der längste Weg; kritische Vorgänge haben $\text{GP}_i = 0$.
• Pufferzeiten (GP, FP, FRP, UP) zeigen den Spielraum unkritischer Vorgänge.
• Maximalabstände werden zu negativen Rückwärtspfeilen; die Zyklen löst ein FIFO-Verfahren.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.