Mehrere Ziele

Zwei Ziele, ein Plan

Erinnerung: das LKW-Beispiel

Auftrag	Stückerlös	Paletten	Tonnen
1	20	1	1
2	30	1	3
Kapazität		5	9

Für das Be- und Entladen fallen 5 EUR pro Tonne an.

Ziel 1: Umsatz

$\begin{aligned} \max \; & F = 20 X_1 + 30 X_2 \\ & X_1 + X_2 \le 5, \quad X_1 + 3 X_2 \le 9, \quad X_1, X_2 \ge 0 \end{aligned}$

$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad F^* = 120$

Deckungsbeiträge

Zieht man die 5 EUR/Tonne ab, ergibt sich je Palette:

$\text{DB}_1 = 20 - 1 \cdot 5 = 15, \qquad \text{DB}_2 = 30 - 3 \cdot 5 = 15$

Das Controlling empfiehlt, nach Deckungsbeitrag statt Umsatz zu planen.

Ziel 2: Deckungsbeitrag

$\begin{aligned} \max \; & F = 15 X_1 + 15 X_2 \\ & X_1 + X_2 \le 5, \quad X_1 + 3 X_2 \le 9, \quad X_1, X_2 \ge 0 \end{aligned}$

$X_1^* = 5, \quad X_2^* = 0, \quad F^* = 75$

Die Umsatzerlöse sinken dabei auf $5 \cdot 20 = 100$ EUR und die ungenutzte Ladekapazität steigt auf 4 Tonnen: ein Zielkonflikt.

Der Zielkonflikt

Zulässiger Bereich des LKW-Beispiels mit zwei markierten Ecken: (3, 2) als Umsatzoptimum und (5, 0) als Optimum des Deckungsbeitrags. Die Kante zwischen beiden ist hervorgehoben, denn jeder ihrer Punkte hat denselben Deckungsbeitrag von 75.

Umsatz-Optimum: $(3, 2)$ (rot).
Deckungsbeitrag-Optimum: $(5, 0)$ (orange).

Die orangefarbene Kante ist komplett DB-optimal: mehrdeutig (V05!).

Frage: Wie lösen wir den Konflikt auf?

Arten von Zielkonflikten

Konkurrierende (konträre) Ziele: sie behindern sich.
Komplementäre Ziele: sie unterstützen sich.
Neutrale (orthogonale) Ziele: sie beeinflussen sich nicht.

Vier Ansätze zur Auflösung: lexikographische Ordnung, Haupt-/Nebenziele, Zielgewichtung, Goal Programming. Maßstab: der Zielerreichungsgrad.

Lexikographisch

Ziele nach Wichtigkeit

Eine strikte Rangfolge der Ziele $A \succ B \succ C \succ \dots$

Optimiere nur Ziel $A$ $\Rightarrow$ Lösungsmenge $X_A$ .
Optimiere Ziel $B$ nur auf $X_A$ $\Rightarrow X_B \subseteq X_A$ .
Optimiere Ziel $C$ nur auf $X_B$ , und so weiter.

Anwendung auf das Beispiel

Ziel $A$ (Deckungsbeitrag): $F_A = 75$ . Optimal ist die ganze Kante von $(5, 0)$ bis $(3, 2)$ , also gibt es noch Spielraum.

Ziel $B$ (Umsatz), aber Deckungsbeitrag beibehalten:

$\begin{aligned} \max \; & F_B = 20 X_1 + 30 X_2 \\ & 15 X_1 + 15 X_2 \ge 75 \quad (\text{DB-Niveau halten}) \\ & X_1 + X_2 \le 5, \quad X_1 + 3 X_2 \le 9 \end{aligned}$

$\Rightarrow X_1^* = 3, X_2^* = 2, F_B^* = 120$ : beide Ziele erfüllt.

Haupt-/Nebenziel

Hauptziel plus Nebenziel

Ein Ziel wird optimiert, die übrigen als Mindestanforderung (satisfizierend) formuliert.

$\begin{aligned} \max \; & F = 15 X_1 + 15 X_2 && (\text{Hauptziel: DB}) \\ & 20 X_1 + 30 X_2 \ge 110 && (\text{Nebenziel: Umsatz}) \\ & X_1 + X_2 \le 5, \quad X_1 + 3 X_2 \le 9 \end{aligned}$

$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad F^* = 75$

Mehrdeutig: Jeder Punkt der Kante von $(3, 2)$ bis $(4, 1)$ hat $F = 75$ und mindestens 110 EUR Umsatz.

Zielgewichtung

Gewichtete Summe

Alle Ziele gleichrichten (Minimierung $\times (-1)$ ) und mit Gewichten $0 \le \lambda_i \le 1$ zusammenfassen:

$\text{Maximiere } Z = \sum_{i=1}^{t} \lambda_i\, F_i$

Die Gewichte drücken die relative Bedeutung der Ziele aus.

Beispiel

Umsatz und Deckungsbeitrag gleich gewichtet, $\lambda_1 = \lambda_2 = 0{,}5$ :

$Z = 0{,}5\,(20 X_1 + 30 X_2) + 0{,}5\,(15 X_1 + 15 X_2) = 17{,}5 X_1 + 22{,}5 X_2$

$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad Z^* = 97{,}5$

Goal Programming

Abstand zum Ideal

Erweiterung der Zielgewichtung: Minimiere den Abstand zwischen dem Ideal $F_i^*$ und dem erreichten Wert $F_i$ .

Summe der gewichteten Abstände: $Z_1 = \sum_i \lambda_i\,|F_i^* - F_i|$ .
Maximaler gewichteter Abstand: $Z_2 = \max_i \lambda_i\,|F_i^* - F_i|$ .
Summe der quadrierten Abstände: $Z_3 = \sum_i \lambda_i (F_i^* - F_i)^2$ .

Ohne Betragsstriche

Frage: Warum dürfen die Beträge einfach wegfallen?

Im zulässigen Bereich gilt für Maximierungsziele stets $F_i \le F_i^*$ : der Abstand $F_i^* - F_i$ ist nie negativ.

Für $Z_1$ (mit $\lambda_i = 1$ ) heißt das konkret:

$Z_1 = (75 - 15X_1 - 15X_2) + (120 - 20X_1 - 30X_2) \to \min$

$\Longleftrightarrow \quad \max \; 35 X_1 + 45 X_2$

Wieder ein gewöhnliches LP: Optimum $(3, 2)$ mit $Z_1 = 0$ .

Der Min-Max-Ansatz

Je Ziel eine Restriktion, $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ :

$\begin{aligned} \min \; & Z \\ & Z + 20 X_1 + 30 X_2 \ge 120 && (\text{Abstand Umsatz}) \\ & Z + 15 X_1 + 15 X_2 \ge 75 && (\text{Abstand DB}) \\ & X_1 + X_2 \le 5, \quad X_1 + 3 X_2 \le 9 \end{aligned}$

$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad Z^* = 0$

Kein echter Zielkonflikt

Der Punkt $(3, 2)$ erreicht beide Ideale (Umsatz 120, DB 75). Die Ziele konkurrieren in diesem Beispiel also nicht wirklich, deshalb ist $(3, 2)$ bei allen Ansätzen optimal.

Echter Konflikt

Variante: 8 EUR pro Tonne

Das Be- und Entladen kostet jetzt 8 EUR pro Tonne statt 5:

$\text{DB}_1 = 20 - 1 \cdot 8 = 12, \qquad \text{DB}_2 = 30 - 3 \cdot 8 = 6$

Ziel 2 bei unveränderten Restriktionen:

$\max \; F = 12 X_1 + 6 X_2 \quad \Rightarrow \quad X_1^* = 5, \quad X_2^* = 0, \quad F^* = 60$

Dieses Optimum ist eindeutig, der Umsatz beträgt dort nur 100 EUR.

Kein gemeinsames Optimum

Derselbe zulässige Bereich mit den markierten Ecken (3, 2) und (5, 0), diesmal ohne hervorgehobene Kante: Bei 8 EUR pro Tonne ist allein (5, 0) optimal für den Deckungsbeitrag und allein (3, 2) optimal für den Umsatz.

Umsatz-Optimum $(3, 2)$ : DB nur 48.
DB-Optimum $(5, 0)$ : Umsatz nur 100.

Kein Punkt erreicht beide Ideale (120 und 60): Die Ziele konkurrieren.

Gleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie suchen Sie selbst den Min-Max-Kompromiss: den Plan, bei dem der größere der beiden Abstände zum Ideal am kleinsten ist. Liegt er an einer Ecke?

Sie sind dran

Die Ansätze im Vergleich

Im Spiel: Min-Max-Kompromiss $(3{,}75;\, 1{,}25)$ auf der Kante, beide Abstände 7,5.

Ansatz	Lösung	Umsatz	DB
Lexikographisch	$(5, 0)$	100	60
Haupt-/Nebenziele	$(4, 1)$	110	54
Zielgewichtung	$(3, 2)$	120	48
Goal Programming $Z_1$	$(3, 2)$	120	48
Goal Programming $Z_2$	$(3{,}75;\, 1{,}25)$	112,5	52,5

Welcher Ansatz?

Ergebnis

Dieselben Ansätze wie zuvor liefern jetzt unterschiedliche Empfehlungen. Bei einem echten Zielkonflikt müssen Sie den Ansatz selbst wählen.

Kontrolle mit Julia

Goal Programming mit JuMP

Zuerst die beiden Einzeloptima $F_1^*, F_2^*$ , dann der Ausgleich:

using JuMP, HiGHS

# Einzeloptima bestimmen
ideal(c1, c2) = begin
    modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
    @variable(modell, X[1:2] >= 0)
    @objective(modell, Max, c1*X[1] + c2*X[2])
    @constraint(modell, X[1] + X[2] <= 5)
    @constraint(modell, X[1] + 3X[2] <= 9)
    optimize!(modell); objective_value(modell)
end

Min-Max-Ansatz mit JuMP

function ausgleich(db1, db2)            # minimiere max. Abweichung
    F1, F2 = ideal(20, 30), ideal(db1, db2)   # Umsatz-, DB-Maximum
    modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
    @variable(modell, X[1:2] >= 0); @variable(modell, Z >= 0)
    @constraint(modell, Z + 20X[1] + 30X[2] >= F1)
    @constraint(modell, Z + db1*X[1] + db2*X[2] >= F2)
    @constraint(modell, X[1] + X[2] <= 5)
    @constraint(modell, X[1] + 3X[2] <= 9)
    @objective(modell, Min, Z)
    optimize!(modell)
    wert(v) = round(value(v), digits = 2)
    println("X = ", wert.(X), ", Umsatz = ", wert(20X[1] + 30X[2]),
            ", DB = ", wert(db1*X[1] + db2*X[2]), ", Z* = ", wert(Z))
end
ausgleich(15, 15)                       # 5 EUR pro Tonne
ausgleich(12, 6)                        # 8 EUR pro Tonne

X = [3.0, 2.0], Umsatz = 120.0, DB = 75.0, Z* = 0.0
X = [3.75, 1.25], Umsatz = 112.5, DB = 52.5, Z* = 7.5

Standortplanung

Ein Gebietsplanungsproblem

16 Gebiete (4×4-Raster) mit Umsatzpotenzialen; 4 mögliche Standorte (Gebiete 2, 8, 9, 15, grau). Wähle genau zwei und ordne jedes Gebiet einem Standort zu.

Karte der 16 Gebiete als 4×4-Raster, nummeriert zeilenweise von 1 links oben bis 16 rechts unten, mit den Umsatzpotenzialen 68, 96, 101, 114 / 42, 73, 78, 34 / 68, 51, 73, 52 / 51, 105, 123, 77. Grau sind die möglichen Standorte 2, 8, 9 und 15.

Variablen und Restriktionen

Frage: Welche Variablen und Restriktionen brauchen wir?

$Y_j \in \{0,1\}$ : Standort $j$ errichten; $X_{ij} \in \{0,1\}$ : Gebiet $i \to$ Standort $j$ .
Genau zwei Standorte: $\sum_j Y_j = 2$ .

Zuordnung der Gebiete

Zuordnung nur zu errichteten: $X_{ij} \le Y_j$ ; ein Standort versorgt sein eigenes Gebiet: $X_{jj} = Y_j$ .
Jedes Gebiet genau einmal: $\sum_j X_{ij} = 1$ .

Im Original zusätzlich: Gebiete müssen zusammenhängend sein. Das lassen wir hier weg.

Zwei konkurrierende Ziele

Fairness gegen Kosten

$F_1$ = kleinstes zugeordnetes Umsatzpotenzial $\to$ maximieren (ausgewogene Gebiete).
$F_2$ = gesamte Reisekosten $\sum_{ij} d_{ij} X_{ij} \to$ minimieren.

Ein Zielkonflikt, aufzulösen mit Goal Programming (gleichgewichtete relative Abweichungen).

Daten und Entfernungen

using JuMP, HiGHS
u = [68,96,101,114, 42,73,78,34, 68,51,73,52, 51,105,123,77]
J = [2,8,9,15]; I = 1:16
pos(i) = (cld(i,4), mod1(i,4))                      # Zeile, Spalte
d(i,j) = abs(pos(i)[1]-pos(j)[1]) + abs(pos(i)[2]-pos(j)[2])

Das Grundmodell

function standortmodell()
    modell = Model(HiGHS.Optimizer); set_silent(modell)
    @variable(modell, Y[J], Bin); @variable(modell, X[I,J], Bin)
    @variable(modell, F1 >= 0)
    @constraint(modell, sum(Y[j] for j in J) == 2)
    @constraint(modell, [i in I, j in J], X[i,j] <= Y[j])
    @constraint(modell, [j in J], X[j,j] == Y[j])
    @constraint(modell, [i in I], sum(X[i,j] for j in J) == 1)
    @constraint(modell, [j in J],
        F1 <= sum(u[i]*X[i,j] for i in I) + sum(u)*(1 - Y[j]))
    modell, X, Y, F1, sum(d(i,j)*X[i,j] for i in I, j in J)
end

Die Einzeloptima

Erst die beiden Ideale, jeweils mit demselben Grundmodell:

m1, _, _, F1v, _ = standortmodell()
@objective(m1, Max, F1v); optimize!(m1); F1stern = objective_value(m1)
m2, _, _, _, F2v = standortmodell()
@objective(m2, Min, F2v); optimize!(m2); F2stern = objective_value(m2)
println("F1* = ", round(Int, F1stern),
        ", F2* = ", round(Int, F2stern))

F1* = 603, F2* = 24

Die Ideale auf der Karte

Die fairste Zuordnung: Zwei Standorte teilen die Gebiete so, dass das kleinere Gesamtpotenzial so groß wie möglich ist; die Farben zeigen, welches Gebiet zu welchem Standort gehört.

Eine der kürzesten Zuordnungen: Jedes Gebiet gehört zu einem nahen Standort, die Gesamtpotenziale der beiden Standorte unterscheiden sich deutlich.

Fair achtet nicht auf Wege, kurz nicht auf Fairness (rechts: eine von mehreren).

Der Ausgleich

Jetzt das angekündigte Goal Programming, minimiere die Summe der relativen Abweichungen von beiden Idealen:

modell, X, Y, F1v, F2v = standortmodell()
@objective(modell, Min,
    (F1stern - F1v)/F1stern + (F2v - F2stern)/F2stern)
optimize!(modell)

println("Standorte: ", [j for j in J if value(Y[j]) > 0.5])
println("F1 = ", round(Int, value(F1v)),
        " (Ideal ", round(Int, F1stern), "), ",
        "F2 = ", round(Int, value(F2v)),
        " (Ideal ", round(Int, F2stern), ")")

Standorte: [8, 9]
F1 = 602 (Ideal 603), F2 = 24 (Ideal 24)

Beide Ziele bleiben nahe an ihrem Ideal. Der Preis des Kompromisses ist direkt ablesbar.

Der Kompromiss auf der Karte

Die Kompromisslösung des Goal Programming: Die Standorte 8 und 9 teilen sich die Gebiete in zwei zusammenhängende Hälften mit fast gleichem Gesamtpotenzial und so kurzen Wegen wie im Ideal.

Standorte 8 und 9.
$F_1 = 602$ statt 603.
Reisekosten 24, wie im Ideal.

Fast perfekt ausgewogen und kurz: Der Kompromiss kostet hier fast nichts.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

Mehrere Ziele erzeugen oft Zielkonflikte.
Lexikographische Ordnung: Ziele strikt nacheinander optimieren.
Haupt-/Nebenziele: eines optimieren, andere als Mindestanforderung.
Zielgewichtung und Goal Programming fassen die Ziele über Gewichte bzw. Abstände zusammen.
Anwendung: Standortplanung wägt faire Umsätze gegen Reisekosten ab.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.