Motivation

Eine zusätzliche Auflage

Worum geht es heute?

Wir kennen den primalen Simplex. Doch was tun, wenn nach der Lösung eine neue Nebenbedingung hinzukommt?

Alles von vorn rechnen? Bei großen Problemen enorm aufwendig.
Besser: auf der optimalen Zwischenlösung aufbauen.

Das leistet der duale Simplex-Algorithmus: er ist auch Grundlage der ganzzahligen Optimierung (Vorlesung 08).

Wiederholung

Das Optimaltableau

Der primale Simplex lieferte für den Frachtführer:

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$b$
$X_1$	1	0	3/2	−1/2	3
$X_2$	0	1	−1/2	1/2	2
$F$	0	0	15	5	120

Optimale Lösung

$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad F^* = 120$

Eine neue Nebenbedingung

Aus ladungstechnischen Gründen soll Auftrag 1 nicht mehr Paletten umfassen als Auftrag 2:

$X_1 \le X_2$

Mit einer weiteren Schlupfvariablen $Y_3 \ge 0$ :

$X_1 - X_2 + Y_3 = 0$

Grafische Deutung

Die Grenzgerade $X_1 = X_2$ der neuen Restriktion (durchgezogen) schneidet den zulässigen Bereich zum Dreieck.

Das neue Optimum liegt bei $(9/4,\, 9/4)$ .

$X_1 + X_2 \le 5$ (gepunktet) ist jetzt redundant: es könnte entfallen.

Reoptimierung

Idee der Reoptimierung

Idee

Statt das erweiterte Problem neu zu lösen, fügen wir die neue Restriktion in das vorhandene Optimaltableau ein und stellen mit wenigen Basistauschen die Zulässigkeit wieder her.

Vermeidet die Wiederholung vieler primaler Iterationen.
Oft genügt eine einzige Iteration.
Grundlage der Reoptimierung im Branch-and-Bound (Vorlesung 8).

Neue Restriktion einfügen

Die Zeile $X_1 - X_2 + Y_3 = 0$ kommt ins Optimaltableau:

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$b$
$X_1$	1	0	3/2	−1/2	0	3
$X_2$	0	1	−1/2	1/2	0	2
$Y_3$	1	−1	0	0	1	0
$F$	0	0	15	5	0	120

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$b$
$X_1$	1	0	3/2	−1/2	0	3
$X_2$	0	1	−1/2	1/2	0	2
$Y_3$	0	0	−2	1	1	−1
$F$	0	0	15	5	0	120

Die Basisvariablen $X_1, X_2$ stehen noch in der neuen Zeile: sie werden mit Elementaroperationen isoliert (Zeile 1 subtrahieren, Zeile 2 addieren).

$Y_3 = -1 < 0$ : die Basislösung ist unzulässig. $Y_3$ muss die Basis verlassen. Aber die $F$ -Zeile ist weiter optimal!

Dualer Simplex: Pivotwahl

Reihenfolge umgekehrt zum primalen Simplex

Erst Pivotzeile, dann Pivotspalte.

Pivotzeile $s$ : negativste $b$ -Zeile, verletzt die Nichtnegativität am stärksten: $\min_{\bar b_i < 0}\{\bar b_i\} \;\Rightarrow\; s$
Pivotspalte $t$ : Basistausch verschlechtert $F$ am wenigsten, nur negative Koeffizienten der Pivotzeile kommen infrage: $\max_{\bar a_{sj} < 0}\left\{\tfrac{-\bar c_j}{\bar a_{sj}}\right\} \;\Rightarrow\; t$

Reoptimierung durchführen

Pivotzeile $Y_3$ ; einziger negativer Koeffizient: $-2$ unter $Y_1$ $\Rightarrow$ Pivotelement [−2]:

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$b$
$X_1$	1	0	3/2	−1/2	0	3
$X_2$	0	1	−1/2	1/2	0	2
$Y_3$	0	0	−2	1	1	−1
$F$	0	0	15	5	0	120

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$b$
$X_1$	1	0	0	1/4	3/4	9/4
$X_2$	0	1	0	1/4	−1/4	9/4
$Y_1$	0	0	1	−1/2	−1/2	1/2
$F$	0	0	0	25/2	15/2	225/2

$Y_1$ kommt für $Y_3$ in die Basis: ein einziger Basistausch.

Alle $\bar b_i \ge 0$ und $F$ -Zeile $\ge 0$ : zulässig und optimal, $X_1^* = X_2^* = \tfrac{9}{4}$ , $F^* = \tfrac{225}{2} = 112{,}5$ .

Der duale Simplex-Algorithmus

Anwendung

Eine Basislösung, die unzulässig ist (Basisvariablen negativ), aber die Optimalitätsbedingung erfüllt.

Phase 1 (Zulässigkeit herstellen): Basistausche (erst Pivotzeile, dann Pivotspalte), bis alle $\bar b_i \ge 0$ .
Phase 2 (falls zulässig, aber nicht optimal): mit dem primalen Simplex weiterrechnen.

Ganzzahligkeit

Nicht ganzzahlige Lösung

Die reoptimierte Lösung ist $X_2^* = 9/4$ : nicht ganzzahlig.

Sinnvoll sind nur ganze Paletten. Wir spalten in zwei Teilprobleme:

$X_2 \le 2 \qquad \text{oder} \qquad X_2 \ge 3$

Jedes Teilproblem lässt sich per Reoptimierung (dualer Simplex) lösen: kein Neustart nötig.

Teilproblem 1 einfügen

Die Zeile $X_2 + Y_4 = 2$ wird eingefügt und $X_2$ isoliert, wieder wird eine $b$ -Zeile negativ:

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$b$
$X_1$	1	0	0	1/4	3/4	0	9/4
$X_2$	0	1	0	1/4	−1/4	0	9/4
$Y_1$	0	0	1	−1/2	−1/2	0	1/2
$Y_4$	0	0	0	−1/4	1/4	1	−1/4
$F$	0	0	0	25/2	15/2	0	225/2

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$Y_4$	$b$
$X_1$	1	0	0	0	1	1	2
$X_2$	0	1	0	0	0	1	2
$Y_1$	0	0	1	0	−1	−2	1
$Y_2$	0	0	0	1	−1	−4	1
$F$	0	0	0	0	20	50	100

Pivotzeile $Y_4$ ; einziger negativer Koeffizient $-1/4$ unter $Y_2$ $\Rightarrow$ Pivot [−1/4].

Ein Basistausch genügt: $X_1^* = 2$ , $X_2^* = 2$ , $F^* = 100$ , ganzzahlig! Teilproblem 2 ( $X_2 \ge 3$ ) läuft genauso.

Zwei Teilprobleme

1. Teilproblem ( $X_2 \le 2$ )

$X_1^* = 2, \; X_2^* = 2, \; F^* = 100$

2. Teilproblem ( $X_2 \ge 3$ )

$X_1^* = 0, \; X_2^* = 3, \; F^* = 90$

Beste ganzzahlige Lösung

$X_1^* = 2, \; X_2^* = 2, \; F^* = 100$ (aus dem 1. Teilproblem).

Dieses systematische Aufspalten ist die Grundidee von Branch & Bound (Vorlesung 08).

Reduzierte Kosten

Ein drittes Auftragsangebot

Ein weiterer Auftrag wird angeboten: 24 EUR je Palette, 1 Stellplatz, 2 Tonnen.

$\begin{aligned} \max \; & F = 20 X_1 + 30 X_2 + 24 X_3 \\ & X_1 + X_2 + X_3 \le 5 \\ & X_1 + 3 X_2 + 2 X_3 \le 9 \\ & X_1, X_2, X_3 \ge 0 \end{aligned}$

Frage: Lohnt sich Auftrag 3 überhaupt?

Das verrät ein Blick auf die reduzierten Kosten, ohne das Problem neu zu lösen.

Simplex-Multiplikatoren

Im Optimaltableau stehen unter den Schlupfvariablen die Simplex-Multiplikatoren:

$\pi_1 = 15, \qquad \pi_2 = 5$

Sie entstehen dadurch, dass das $15$ -fache der 1. und das $5$ -fache der 2. Ausgangsgleichung zur Zielfunktion addiert wurden:

$F = 15 \cdot 5 + 5 \cdot 9 = 120 \;\Rightarrow\; F = \sum_i \pi_i\, b_i$

Definitionen

$c_j$ : Zielfunktionskoeffizient der Variablen $X_j$
$-\bar c_j$ : aktueller Wert in der $F$ -Zeile unter $X_j$
$\bar c_j$ : reduzierte Kosten der Variablen $X_j$
$\pi_i$ : Simplex-Multiplikator der Zeile $i$

Im Ausgangstableau gilt stets $\bar c_j = c_j$ und $\pi_i = 0$ .

Reduzierte Kosten berechnen

Bei zwei Nebenbedingungen:

$\bar c_j = c_j - a_{1j}\,\pi_1 - a_{2j}\,\pi_2$

Für den dritten Auftrag ( $c_3 = 24$ , $a_{13} = 1$ , $a_{23} = 2$ ):

$\bar c_3 = 24 - 1 \cdot 15 - 2 \cdot 5 = -1$

Optimalitätsbedingung

Reduzierte Kosten

$\bar c_j \le 0$ heißt: kein Zielfunktionsgewinn durch Aufnahme von $X_j$ (bei Maximierung). Optimal, wenn $\bar c_j \le 0$ für alle $j$ .

Wegen $\bar c_3 = -1 < 0$ ist Auftrag 3 keine lohnende Alternative.

Preisuntergrenze

Ein vierter Auftrag: $c_4 = 35$ , $a_{14} = 2$ , $a_{24} = 2$ .

Frage: Ab welchem Erlös würde sich Auftrag 4 lohnen?

$\bar c_4 = 35 - 2 \cdot 15 - 2 \cdot 5 = -5 \;<\; 0$

Auftrag 4 wird nicht übernommen, aber ab einem Erlös $c_4 > 40$ wäre er lohnend.

$\Rightarrow$ Die reduzierten Kosten liefern eine Preis- bzw. Erlösuntergrenze für zusätzliche Aufträge.

Kontrolle mit Julia

Erweitertes Problem mit JuMP

Wir lösen das Problem mit der Zusatzrestriktion $X_1 \le X_2$ :

using JuMP, HiGHS

modell = Model(HiGHS.Optimizer)
set_silent(modell)

@variable(modell, X1 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 1
@variable(modell, X2 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 2

@objective(modell, Max, 20X1 + 30X2)

@constraint(modell, Paletten, X1 + X2 <= 5)
@constraint(modell, Gewicht,  X1 + 3X2 <= 9)
@constraint(modell, Auflage,  X1 <= X2)         # neue Nebenbedingung

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 112.5 mit X1 = 2.25, X2 = 2.25

Ganzzahlige Lösung mit JuMP

Fordern wir Ganzzahligkeit, liefert HiGHS direkt die beste ganzzahlige Lösung:

set_integer(X1)
set_integer(X2)

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 100.0 mit X1 = 2.0, X2 = 2.0

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

Reoptimierung baut auf dem Optimaltableau auf, statt neu zu rechnen.
Der duale Simplex stellt Zulässigkeit her: erst Pivotzeile, dann Pivotspalte.
Nicht ganzzahlige Lösungen werden in Teilprobleme zerlegt (→ Branch & Bound).
Reduzierte Kosten $\bar c_j = c_j - \sum_i a_{ij}\pi_i$ beurteilen zusätzliche Alternativen und liefern Preisuntergrenzen.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.