Verteilungen & die Glockenkurve

In dieser Lektion lernst du, wie man beschreibt, welche Werte wie häufig oder wie wahrscheinlich auftreten. Viele biologische Messgrößen (die Flügellänge einer Vogelart, die Blütenblattlänge einer Iris, die Größe von Blättern) sind näherungsweise normalverteilt, und genau daran machen wir die Idee fest. Am Ende steht ein einziger, großer Gedanke, den du in fast jedem weiteren Kapitel wiedersehen wirst: Die Fläche unter einer Kurve ist eine Wahrscheinlichkeit. Bauen wir uns langsam dorthin.

Beobachtet oder erwartet?

Wenn du echte Daten sammelst und zählst, wie oft jeder Wert vorkommt, erhältst du eine Häufigkeitsverteilung . Sie ist beobachtet, du liest sie direkt aus deinen Messungen ab, etwa als Histogramm. Würfelst du 60-mal, könntest du jede Augenzahl vielleicht 8- bis 12-mal sehen.

Dem gegenüber steht die Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie ist theoretisch und sagt dir, was du erwarten würdest, wenn du unendlich oft messen könntest. Beim fairen Würfel: jede Augenzahl mit Wahrscheinlichkeit 1/6. Die beobachtete Häufigkeit nähert sich dieser theoretischen Verteilung an, je mehr Daten du sammelst.

Diskret oder stetig?

Eine Diskrete Zufallsvariable nimmt abzählbar viele Werte an: die Augenzahl eines Würfels, die Anzahl der Treffer. Hier hat jeder einzelne Wert eine eigene Wahrscheinlichkeit: P(Würfel = 3) = 1/6. Das ist anschaulich und unproblematisch.

Bei einer stetigen Zufallsvariable wird es subtiler. Sie kann jeden Wert in einem Bereich annehmen: die Flügellänge einer Amsel etwa könnte 130 mm sein, oder 130,1 mm, oder 130,03471… mm. Es gibt unendlich viele mögliche Werte. Und genau deshalb gilt etwas, das im ersten Moment irritiert.

Die Normalverteilung

Die wichtigste stetige Verteilung ist die Normalverteilung , kurz N(μ, σ), die berühmte Glockenkurve. Sie ist symmetrisch, hat ihren Gipfel beim Mittelwert μ und ihre Breite bestimmt die Standardabweichung σ. Verschiebst du μ, wandert die ganze Glocke nach links oder rechts; machst du σ größer, wird sie flacher und breiter, machst du σ kleiner, wird sie schmal und hoch.

Die Kurve selbst ist die Dichtefunktion (in R: dnorm). Ihre Formel musst du nicht auswendig können, schau sie dir nur einmal an, damit du μ und σ darin wiedererkennst.

Die zentrale Idee: Fläche = Wahrscheinlichkeit

Jetzt kommt der Gedanke, auf den alles hinausläuft. Die Höhe der Dichtekurve ist für sich genommen keine Wahrscheinlichkeit. Eine Wahrscheinlichkeit bekommst du erst, wenn du die Fläche unter der Kurve über einem Intervall betrachtest.

Wie berechnet man so eine Fläche? Dafür gibt es die Verteilungsfunktion F (in R: pnorm). Sie ist die aufsummierte Fläche von links: F(x) sagt dir, wie viel Fläche bis zur Stelle x angesammelt ist, also P(X ≤ x). Die Fläche eines Intervalls ist dann einfach die Differenz zweier solcher „Flächen von links“.

Probier es selbst aus: der Flächen-Schieber

Lass uns die Idee nicht behaupten, sondern anfassbar machen. Denk dir die Achse als die Flügellänge unserer Vogelart in Millimetern. Geh am besten in dieser Reihenfolge vor:

1. Zieh die Grenzen a und b auseinander und beobachte, wie die korallene Fläche und der Wert P(a < X ≤ b) (der Anteil der Vögel mit Flügellänge dazwischen) wachsen.
2. Schieb a und b ganz dicht zusammen, die Fläche und damit die Wahrscheinlichkeit gehen gegen null.
3. Verschieb μ und ändere σ und sieh zu, wie sich die Glocke (und die schattierte Fläche) umformt.
4. Schalte „in Standardabweichungen (z) anzeigen“ ein: Die Achse zeigt nun z-Werte — so sieht jede Normalverteilung gleich aus.
5. Blende die 68/95/99,7-Bereiche ein und stell a = μ − 2σ, b = μ + 2σ ein. Du solltest rund 95 % ablesen.

Die Z-Transformation

Es gibt unendlich viele Normalverteilungen, für jede Kombination aus μ und σ eine. Wäre es nicht praktisch, sie alle auf eine gemeinsame zurückzuführen? Genau das leistet die Z-Transformation : Du ziehst von jedem Wert den Mittelwert ab und teilst durch die Standardabweichung.

Das Ergebnis ist die Standardnormalverteilung N(0, 1): Mittelwert 0, Standardabweichung 1. Ein z-Wert von +1 bedeutet „eine Standardabweichung über dem Mittelwert“, unabhängig davon, ob es um Körpergrößen, Testergebnisse oder Temperaturen geht. Genau das siehst du, wenn du im Flächen-Schieber den z-Schalter aktivierst, die Achse wird in Standardabweichungen beschriftet.

Streubereiche: die 68–95–99,7-Regel

Weil sich jede Normalverteilung auf N(0, 1) zurückführen lässt, gelten überall dieselben Flächen. Drei davon solltest du dir merken:

• etwa 68 % aller Werte liegen in μ ± 1σ,
• etwa 95 % in μ ± 2σ,
• etwa 99,7 % in μ ± 3σ.

Diese Faustregel ist nichts anderes als die Fläche unter der Glocke zwischen den jeweiligen Grenzen — wieder die zentrale Idee. Werte jenseits von 3σ sind extrem selten; deshalb wirkt ein solcher Ausreißer auffällig.

Jenseits der Glocke: zwei diskrete Verteilungen

Die Normalverteilung beschreibt stetige Messgrößen: Längen, Gewichte, Temperaturen. Viele biologische Fragen sind aber Zählfragen: Wie viele von 20 Samen keimen? Wie viele Tiere sitzen in einem Probequadrat? Solche Anzahlen sind diskret , und zwei diskrete Verteilungen begegnen dir immer wieder.

Die Binomialverteilung: Erfolge zählen

Die Binomialverteilung zählt, wie viele Erfolge du in n unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p erzielst. Das klassische biologische Beispiel: Du säst n = 20 Samen aus, jeder keimt mit Wahrscheinlichkeit p = 0,7. Wie viele der 20 keimen am Ende? Die Antwort ist keine feste Zahl, sondern eine ganze Verteilung über k = 0, 1, …, n. Ihr Erwartungswert ist schlicht n · p.

In R brauchst du die Formel nicht selbst zu tippen: dbinom gibt die Einzelwahrscheinlichkeit P(X = k), pbinom die kumulierte P(X ≤ k).

# Von 20 Samen mit Keimrate p = 0,7:
# Wahrscheinlichkeit, dass genau 15 keimen
dbinom(15, size = 20, prob = 0.7)

# Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 12 keimen
pbinom(12, size = 20, prob = 0.7)

[1] 0.1788631
[1] 0.2277282

Die Poissonverteilung: seltene Ereignisse zählen

Manchmal gibt es kein festes n. Du zählst einfach, wie oft ein seltenes Ereignis pro Einheit auftritt: Tiere pro Probequadrat, Mutationen pro Genom, Pollenkörner pro Sichtfeld. Dafür ist die Poissonverteilung gemacht. Sie hat einen einzigen Parameter, die mittlere Rate λ. Das Besondere: bei ihr sind Mittelwert und Varianz beide gleich λ.

# Im Schnitt 3 Tiere pro Probequadrat (lambda = 3):
# Wahrscheinlichkeit, in einem Quadrat genau 0 Tiere zu finden
dpois(0, lambda = 3)

# Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 Tiere zu finden
ppois(2, lambda = 3)

[1] 0.04978707
[1] 0.4231901

Anders als bei der stetigen Glockenkurve hat hier jeder einzelne Wert k eine echte, positive Wahrscheinlichkeit, nämlich die Höhe jedes Balkens. Probier im Erkunder beide Verteilungen aus: Schieb bei der Binomial p von 0,1 bis 0,9 und beobachte, wie der Gipfel wandert; mach bei der Poisson λ größer und sieh, wie die schiefe Form immer symmetrischer (glockenähnlicher) wird.

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