Korrelation & Transformation

Bisher haben wir Gruppen verglichen. Jetzt fragen wir: Hängen zwei Messgrößen zusammen? Wenn ein Säugetier schwerer ist, hat es dann auch ein größeres Gehirn? Misst man bei vielen Arten Körpermasse und Hirnmasse, schwanken beide gemeinsam. Genau das fasst die Korrelation in einer einzigen Zahl. In dieser Lektion lernst du, was diese Zahl wirklich misst und wo sie täuscht.

Korrelation: Zusammenhang ohne Richtung

Wichtig vorab: Korrelation misst nur die Stärke des Zusammenhangs. Sie kennt keine Richtung und behauptet keine Ursache. Beide Variablen sind gleichberechtigt und zufällig; es ist egal, welche du als x und welche als y aufträgst. Das ist der Unterschied zur Regression (nächste Lektion): Dort gibt es eine erklärende und eine vorhergesagte Größe, also eine Richtung. Hier nicht.

Der erste Schritt: die Kovarianz

Wie fasst man „gemeinsames Schwanken“ in Zahlen? Über die Kovarianz . Sie schaut für jeden Datenpunkt, ob er bei beiden Variablen gleichzeitig über oder unter dem jeweiligen Mittel liegt. Liegen schwere Tiere meist auch über dem mittleren Hirngewicht, werden die Produkte positiv und die Kovarianz wird positiv.

Die zentrale Intuition: Pearson r ist standardisierte Kovarianz

Jetzt die wichtigste Idee der Lektion. Man teilt die Kovarianz durch das Produkt der beiden Standardabweichungen s_x·s_y. Damit kürzen sich die Einheiten heraus und man erhält die Pearson-Korrelation r.

Selbst ausprobieren: der Scatter-Builder

Zieh Punkte, füge welche hinzu, oder lade eine Vorlage, und beobachte Pearson r und Spearman ρ live nebeneinander. Zwei Aha-Momente solltest du dir holen:

1. Lade U-Form / Parabel: Das Muster ist offensichtlich, aber Pearson r ≈ 0 — denn es gibt keinen linearen Trend.
2. Lade mit Ausreißer (oder klick + Ausreißer): Ein einziger weit entfernter Punkt treibt Pearson dramatisch nach oben (Scheinkorrelation), während Spearman ρ ruhig bleibt. Zieh den Ausreißer ins Feld zurück — beide nähern sich wieder an.

Rangbasiert & robust: Spearman ρ und Kendall τ

Die Spearman-Korrelation ρ ist einfach der Pearson-Koeffizient der Ränge: Statt der Originalwerte korreliert man ihre Rangplätze. Das hat drei schöne Folgen. Sie erfasst jeden monotonen Zusammenhang , auch gekrümmte wie eine Sättigungskurve y = log(x). Sie ist robust gegen Ausreißer, weil ein extremer Wert nur einen Rangplatz weiterrückt, nicht beliebig weit. Und sie ist für ordinale (Rang-)Daten zulässig, für die Pearson gar nicht definiert ist.

Kendalls τ verfolgt dieselbe Idee über einen anderen Weg: Es zählt, wie viele Paare konkordant (gleichsinnig geordnet) gegenüber diskordant sind. Auch τ erfasst monotone Zusammenhänge und ist robust. Oft wird es bei vielen Bindungen oder kleinen Stichproben bevorzugt.

Ist die Korrelation echt? Der Test auf ρ = 0

Auch eine kleine Stichprobe aus völlig unkorrelierten Variablen zeigt selten exakt r = 0 — etwas Korrelation ergibt sich immer durch Zufall. Der Signifikanztest prüft die Nullhypothese ρ = 0 („kein Zusammenhang“) mit einem t-Test : Die Teststatistik t folgt unter H₀ einer Student-t-Verteilung mit df = n − 2 .

Die große Warnung: Korrelation ≠ Kausalität

Zwei Größen können stark korrelieren, ohne dass die eine die andere verursacht. Oft steckt ein dritter Faktor dahinter, ein Confounder , der beide gemeinsam beeinflusst. Das nennt man eine Scheinkorrelation .

Transformationen: Krummes gerade biegen

Zurück zu unseren Säugetieren. Trägt man Körpermasse gegen Hirnmasse roh auf, ergibt sich eine stark gekrümmte Wolke: Wenige Riesen (Elefant, Wal) quetschen alle kleinen Tiere in eine Ecke, und Pearson r passt nicht zur klaren Wolke. Die Lösung ist eine Transformation : Logarithmiert man beide Achsen, wird aus der Kurve eine schöne Gerade: der berühmte log-log-Zusammenhang zwischen Hirn- und Körpermasse.

Welche Transformation wann? Eine Entscheidungshilfe

Welche Transformation passt, hängt von der Art der Daten ab, und das lässt sich zu einer kleinen Faustregel verdichten. Drei typische biologische Datensorten, drei typische Transformationen, mit Box-Cox als allgemeinem Rahmen darüber:

Der Grund hinter der Tabelle ist immer derselbe: Varianzstabilisierung. Bei Anteilen ist die Streuung an den Rändern (nahe 0 % und 100 %) kleiner als in der Mitte — die Arkussinus-Transformation zieht sie gerade. Bei Zähldaten wächst die Varianz mit dem Mittelwert (bei Poisson sind beide gleich λ), und die Wurzel fängt genau das ab. Bei multiplikativen Größen wächst die Streuung proportional zum Wert, und der Logarithmus macht daraus eine konstante Streuung. Erst danach passen lineare Methoden — Korrelation, t-Test, ANOVA, Regression — wieder sauber.

So sieht das in R aus

Die Korrelation samt Signifikanztest rechnest du mit cor.test(). Über das Argument method wählst du Pearson oder Spearman:

# Saeugetiere: Koerpermasse vs. Hirnmasse (Datensatz "mammals").
# Pearson auf den ROHEN Daten — durch die Kruemmung verzerrt:
cor.test(mammals$body, mammals$brain, method = "pearson")

	Pearson's product-moment correlation

t = 11.802, df = 60, p-value < 2.2e-16
sample estimates:
      cor
0.9341638

Spearman ρ ist robuster gegen die Ausreißer (Elefant, Wal) und erfasst die Monotonie direkt — und genau dieselbe Linearisierung erreichst du mit der log-log-Transformation:

# Rangbasiert (robust gegen die grossen Ausreisser):
cor(mammals$body, mammals$brain, method = "spearman")

# Oder die Nichtlinearitaet per log-log begradigen, dann Pearson:
cor(log(mammals$body), log(mammals$brain), method = "pearson")

[1] 0.9534637

[1] 0.9595748

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