Chi-Quadrat-Tests

Bisher ging es um Mittelwerte und Streuungen, gemessene Größen wie die Zugdistanz in Kilometern. Jetzt geht es um etwas anderes: ums Zählen. Wie viele Erbsen sind gelb-rund, wie viele grün-runzlig? Wie viele Tiere einer Art leben in welchem Habitat? Solche kategorialen Häufigkeitsdaten wertet der Chi-Quadrat-Test (χ²) aus. In dieser Lektion lernst du die eine Intuition, die alles trägt: χ² misst, wie weit das, was du gezählt hast, von dem abweicht, was du bei reinem Zufall erwarten würdest.

Die zentrale Idee: beobachtet gegen erwartet

Stell dir χ² als ehrliche Buchhaltung der Überraschung vor. Für jede Kategorie hast du eine beobachtete Anzahl B (das, was du gezählt hast) und eine erwartete Anzahl E (das, was ein Modell vorhersagt). χ² summiert die quadrierten Abweichungen (B − E)², jede aber relativiert an ihrem eigenen Erwartungswert E. So zählt eine Abweichung von 10 bei E = 5 viel schwerer als dieselbe 10 bei E = 1000.

Variante 1: Der Anpassungstest (goodness of fit)

Der Anpassungstest beantwortet die Frage: Folgen meine beobachteten Häufigkeiten einer erwarteten Verteilung? Das klassische Beispiel kommt aus der Genetik. Mendel kreuzte Erbsen, die sich in zwei Merkmalen unterschieden (Form und Farbe), und erwartete in der F₂-Generation das berühmte 9:3:3:1-Spaltungsverhältnis der vier Phänotyp-Klassen.

Aus N = 556 Pflanzen zählte Mendel: 315 rund-gelb, 101 runzlig-gelb, 108 rund-grün, 32 runzlig-grün. Das Modell 9:3:3:1 sagt für N = 556 die erwarteten Anzahlen 312,8 · 104,3 · 104,3 · 34,8 voraus (also N mal 9/16, 3/16, 3/16, 1/16). Passt das beobachtete zum erwarteten Verhältnis?

Variante 2: Der Unabhängigkeitstest (Kontingenztafel)

Die zweite Variante prüft, ob zwei kategoriale Merkmale unabhängig sind. Beispiel: Du fängst Tiere zweier Arten und notierst, in welchem von zwei Habitaten sie leben. Das ergibt eine Kontingenztafel , eine Kreuztabelle der Anzahlen:

Die Nullhypothese lautet: Art und Habitat sind unabhängig. Die Habitatwahl hängt nicht von der Art ab. Wären sie unabhängig, müsste sich jede Zelle aus ihren Rändern ergeben: aus der Zeilensumme (wie viele Tiere der Art) und der Spaltensumme (wie viele Tiere im Habitat), geteilt durch die Gesamtzahl N. Genau das ist die Formel für die Erwartungswerte .

Für unsere Tafel ist z. B. E₁₁ = (40·42)/80 = 21 erwartete Tiere der Art A in Habitat 1, beobachtet sind aber 30. Die Art A sitzt also häufiger in Habitat 1, als Unabhängigkeit erwarten ließe. Ob diese Abweichung signifikant ist, sagt χ². Probier es gleich selbst aus.

Selbst ausprobieren: der Kontingenztafel-Editor

Tipp links die beobachteten Anzahlen ein. Rechts berechnen sich live die erwarteten Werte E aus den Rändern, der Beitrag (B − E)²/E jeder Zelle (je kräftiger gefärbt, desto mehr trägt sie bei) und unten χ², df und der p-Wert. Probier:

1. Mach die Verteilung gleichmäßiger (z. B. überall 20): Die Beiträge schrumpfen, χ² geht gegen 0, p steigt, kein Zusammenhang mehr.
2. Verschärf den Kontrast (z. B. 38/2 und 4/36): Die Beiträge leuchten auf, χ² steigt, p sinkt.
3. Setz eine Zelle sehr klein, bis ein E < 5 auftaucht — die Warnung erscheint: lieber Fisher-Test.
4. Schalte die Yates-Korrektur an und aus — bei 2×2 verkleinert sie χ² etwas (konservativer).

Voraussetzungen & Stolpersteine

Der χ²-Test ist eine Näherung: Die Teststatistik folgt nur ungefähr einer χ²-Verteilung. Damit die Näherung trägt, müssen ein paar Dinge stimmen:

So sieht das in R aus

Beide Varianten erledigt chisq.test(). Für den Unabhängigkeitstest übergibst du die Tafel als Matrix. So liest du die Ausgabe:

# Unabhaengigkeitstest: Art x Habitat (beobachtete Anzahlen)
tafel <- matrix(c(30, 10,
                  12, 28), nrow = 2, byrow = TRUE)
chisq.test(tafel)

	Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  tafel
X-squared = 14.486, df = 1, p-value = 0.0001416

Wichtig: Schau dir immer chisq.test(tafel)$expected an. Das gibt die erwarteten Häufigkeiten aus. So prüfst du direkt die Faustregel E ≥ 5, bevor du dem p-Wert traust. Warnt R „Chi-squared approximation may be incorrect“, ist genau das verletzt, und du wechselst auf fisher.test(tafel).

Für den Anpassungstest übergibst du die gezählten Klassen und die erwarteten Anteile p:

# Anpassungstest: Mendels Erbsen gegen das 9:3:3:1-Verhaeltnis
beobachtet <- c(315, 101, 108, 32)
chisq.test(beobachtet, p = c(9, 3, 3, 1) / 16)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  beobachtet
X-squared = 0.47002, df = 3, p-value = 0.9254

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