ANOVA & Mehrstichprobentests

Der t-Test vergleicht zwei Gruppen. Aber was, wenn du mehr hast? Otto züchtet Lachse (Salmo salar) in drei verschiedenen Käfigtypen und will wissen, ob der Käfigtyp die Größe der Fische beeinflusst. Drei Gruppen: Der naive Reflex wäre, einfach alle Paare mit t-Tests durchzuprobieren. Genau das geht schief. In dieser Lektion lernst du, warum man stattdessen einen Test über alle Gruppen rechnet: die Varianzanalyse (ANOVA) .

Das Problem: viele Vergleiche blähen den Fehler auf

Bei drei Käfigtypen gibt es drei Paare (Netz–Fest, Netz–Tief, Fest–Tief), bei vier Gruppen wären es schon sechs und bei fünf zehn. Jeder einzelne t-Test hat seine eigene 5 %-Chance auf einen Fehlalarm , auch wenn in Wahrheit gar kein Unterschied besteht. Diese kleinen Risiken summieren sich. Die Wahrscheinlichkeit, in der ganzen Familie von Tests mindestens einen Fehlalarm zu erwischen, heißt familienweise Fehlerrate (FWER) .

Probier es im FWER-Roulette unten gleich selbst aus: rein zufällige Daten, keinerlei echter Unterschied, und trotzdem klettert die Fehlalarmrate mit jedem Vergleich nach oben. Die Bonferroni-Korrektur (jeden Test zum strengeren Niveau α/c) zieht sie wieder herunter.

Die Lösung: ein Test über die Varianzzerlegung

Die ANOVA prüft alle Gruppen auf einmal. Ihr Trick ist die Varianzzerlegung : Die gesamte Streuung in den Lachsgrößen lässt sich sauber in zwei Teile zerlegen — einen Teil zwischen den Gruppen (wie weit die Käfig-Mittelwerte voneinander abweichen) und einen Teil innerhalb der Gruppen (wie sehr die Fische desselben Käfigs um ihr eigenes Mittel streuen).

Anschaulich teilt sich die Gesamtstreuung wie dieser Balken auf: Der korallene Anteil ist das, was die Käfigtypen erklären, der gedämpfte Teil bleibt unerklärt:

Die zentrale Intuition: F = zwischen ÷ innerhalb

Jetzt die wichtigste Idee der Lektion. Die ANOVA heißt Varianzanalyse , aber sie testet Unterschiede in den Mittelwerten. Über einen Umweg: Sie setzt die beiden Streuungsanteile ins Verhältnis. Aus den Quadratsummen werden zuerst mittlere Quadrate (MS) (Quadratsumme geteilt durch Freiheitsgrade), und ihr Quotient ist das F-Verhältnis .

Selbst ausprobieren: das F-Verhältnis

Drei Käfigtypen, Lachsgröße in cm. Mit dem ersten Regler veränderst du den Abstand der Gruppenmittel (das Signal), mit dem zweiten die Streuung innerhalb der Gruppen (das Rauschen). Unten zerlegt sich die Streuung live in „zwischen“ und „innerhalb“, und du siehst F, p und η². Probier:

1. Setz einen klaren Abstand und dreh die Streuung innerhalb klein: F schießt hoch, p wird winzig, der korallene „zwischen“-Anteil dominiert.
2. Lass den Abstand stehen, aber dreh die Streuung innerhalb groß — dasselbe Signal, jetzt im Rauschen ertränkt: F fällt, p steigt, nicht mehr signifikant.
3. Zieh den Abstand auf 0: alle Käfige gleich, F geht gegen 0, η² gegen 0.

Voraussetzungen & die nicht-parametrische Alternative

Wie der t-Test ist auch die ANOVA an Annahmen geknüpft. Sind sie verletzt, wird der p-Wert unzuverlässig:

Nach der ANOVA: welche Gruppen? Und wie stark?

Ein signifikantes Ergebnis sagt nur: irgendein Käfig-Mittelwert weicht ab, aber nicht welcher. Diese Frage beantwortet ein Post-hoc-Test . Der gängigste ist Tukey HSD : Er vergleicht alle Gruppenpaare und hält dabei die familienweise Fehlerrate auf α. Er löst das multiple-Testen-Problem also sauber, statt es wie naive t-Tests zu ignorieren.

Und wie stark ist der Effekt? Dafür gibt es die Effektstärke η² (Eta-Quadrat) : der Anteil der Gesamtstreuung, den die Gruppenzugehörigkeit erklärt. Es ist genau der korallene Anteil aus der Varianzzerlegung, und das ANOVA-Pendant zum R² der Regression.

Rechnen wir es für die Lachse durch. Aus der Varianzzerlegung kennen wir SS_zwischen = 106,17 und SS_innerhalb = 18,75, zusammen SS_total = 124,92. Also η² = 106,17 / 124,92 ≈ 0,85: Der Käfigtyp erklärt rund 85 % der gesamten Streuung in der Lachsgröße, genau der korallene Anteil aus dem Balken oben. Zur Einordnung dienen Cohens Faustwerte für η²:

So sieht das in R aus

Die ANOVA rechnest du mit aov() und liest sie mit summary(). Für die konkreten Paare folgt TukeyHSD(). So liest du die Ausgabe:

# Lachsgroesse (cm) je Kaefigtyp; "kaefig" ist ein Faktor mit 3 Stufen.
modell <- aov(groesse ~ kaefig, data = lachse)
summary(modell)

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)
kaefig       2 106.17   53.08   25.48 0.000197 ***
Residuals    9  18.75    2.083
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Die ANOVA war signifikant. Aber welche Käfige unterscheiden sich? Das sagt der Post-hoc-Test:

# Post-hoc: welche Kaefig-Paare unterscheiden sich? FWER bleibt kontrolliert.
TukeyHSD(modell)

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

$kaefig
                      diff        lwr        upr     p adj
Festkaefig-Netzkaefig  7.0   4.227  9.773  0.0002
Tiefkaefig-Netzkaefig  3.0   0.227  5.773  0.0345
Tiefkaefig-Festkaefig -4.0  -6.773 -1.227  0.0079

Zwei Faktoren auf einmal: die zweifaktorielle ANOVA

Bisher hatten wir einen Faktor (den Käfigtyp). Oft wirken aber zwei Einflüsse gleichzeitig. Stell dir vor, du untersuchst das Wachstum von Pflanzen unter zwei Faktoren: Düngung (mit/ohne) und Lichtmenge (wenig/viel). Werden beide Faktoren in allen Kombinationen geprüft (sie sind also gekreuzt ), dann rechnet man eine zweifaktorielle ANOVA . Sie liefert nicht einen, sondern drei Tests: den Haupteffekt der Düngung, den Haupteffekt des Lichts und, besonders spannend, ihre Wechselwirkung.

Ein Interaktionseffekt bedeutet: Die Wirkung des einen Faktors hängt von der Stufe des anderen ab. Vielleicht hilft die Düngung den Pflanzen nur, wenn genug Licht da ist, und bleibt im Schatten wirkungslos. Dann kannst du den Düngeeffekt nicht mehr für sich allein angeben, er ist eben licht-abhängig. Genau diese „es kommt darauf an“-Situation steckt im Interaktionsterm.

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