Vorlesung 01: Grafisches Lösen

Grundlagen Operations Research

Prof. Dr. Knut Haase

Organisatorisches

Herzlich willkommen!

Grundlagen Operations Research

• Prof. Dr. Knut Haase, Simon Rienks, Fiona Sauerbier und Dr. Tobias Vlćek
• Institut für Logistik, Verkehr und Produktion
• University of Hamburg Business School
• Ein forschungsorientiertes Modul mit starkem Praxisbezug

Aufbau der Veranstaltung

1. Vorlesung (2 SWS): die zwölf Themen des Kurses
2. Übungen (1 SWS): Übungsvideos + Julia-Aufgaben, jederzeit verfügbar
3. Besprechungen (1 SWS): Fragen & Aufgabenvorstellung (bis 2 Bonuspunkte)
4. Klausurtrainer (freiwillig): Übungsaufgaben in OpenOlat (bis 6 Bonuspunkte)

Details finden Sie im Syllabus und in den häufigen Fragen.

Warum sich der Aufwand lohnt

Die Klausur: 90 Minuten, 90 Punkte, dazu bis zu 8 Bonuspunkte. Auswertung eines früheren Wintersemesters:

• Klausurtrainer ≥ 4 Punkte, keine Besprechungs-Bonuspunkte: im Schnitt +12 Punkte in der Klausur.
• Klausurtrainer ≥ 4 Punkte und 2 Besprechungs-Bonuspunkte: im Schnitt +18 Punkte.

Bonuspunkte zählen erst ab einer bestandenen Klausur (mind. 4,0).

Inhalte der Veranstaltung

1. Lineare Optimierung
2. Graphentheoretische Grundlagen
3. Das klassische Transportproblem
4. Ganzzahlige Optimierung: Branch & Bound
5. Netzplantechnik
6. Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung
7. Modellierung

Software: Julia statt GAMS

Neu: Wir modellieren mit Julia

In dieser Veranstaltung lösen wir Optimierungsprobleme mit Julia, dem Paket JuMP und dem Solver HiGHS. Julia ersetzt GAMS vollständig und ist klausurrelevant.

• Einstieg ohne Vorkenntnisse: siehe Julia · Installation & Setup
• Organisation weiterhin über OpenOlat und den Klausurtrainer

OpenOlat

Noch nie mit OpenOlat gearbeitet?

Wir laden Sie erst in den Kurs ein, nachdem Sie sich einmal angemeldet haben, bitte zeitnah:

openolat.uni-hamburg.de

Praxisrelevanz

Crowd Management in Mekka

Planung der Pilgerströme

• Zeitpläne und Routen für die Pilgerströme zum Hadsch
• Modell: Path Assignment and Timetabling

Metro-Zufluss in Doha

Gesteuerter Metro-Zufluss

• Einlasssteuerung nach Großveranstaltungen
• Ergebnis: zulässige Einlassraten je Stunde

Polizei-Distriktplanung

Zuschnitt von Polizeibezirken

• Optimaler Zuschnitt der Bezirke um die Wachen
• Ziele: kurze Wege, ausgeglichene Auslastung

Brauerei-Produktionsplanung

Von der Forschung in die Lehre

Losgrößen- & Ressourcenplanung (Brauerei): Mickein u. a. (2022)

Lehrgangsplanung: Haase u. a. (1999)

Anwendungsfelder des OR

• Flugrouten- und Crew-Planung (Desrosiers u. a. 2000)
• Bettenmanagement in Krankenhäusern (Thomas u. a. 2013)
• Einsatzplanung von Eisenbahnpersonal (Jütte u. a. 2011)
• Schiedsrichter-Zuordnung in der Baseball-Liga (Trick u. a. 2012)
• Spielpläne im Profisport (Westphal 2014)

Internationalisierung

Gesellschaften

• GOR: Gesellschaft für OR
• EURO: European OR Societies
• INFORMS: OR & Management Sciences
• IFORS: International Federation

Zeitschriften (Auswahl)

• European Journal of OR
• Management Science
• Operations Research
• OR Spectrum

Auszeichnungen

• 2021: Best Paper Award VHB
• 2021: EURO Excellence in Practice Award (Finalist, 2. Platz)
• 2015: INFORMS Franz Edelman Award (Finalist)

Lineare Modelle

Lineares Optimierungsproblem

Ein LOP besitzt eine lineare Zielfunktion und ausschließlich lineare Nebenbedingungen.

Allgemeine Form

$$\begin{aligned} \text{maximiere } \; & F = c_1 X_1 + c_2 X_2 + \dots + c_J X_J \\ \text{u.d.N.} \quad & a_{i1} X_1 + \dots + a_{iJ} X_J \le b_i \quad \forall i \\ & X_j \ge 0 \quad \forall j \end{aligned}$$

$X_j$ Entscheidungsvariable, $c_j$ Zielkoeffizient, $a_{ij}, b_i$ Parameter.

Eine Tour, zwei Angebote

Beispiel aus der Logistik

Ein Frachtführer bedient die Relation Hamburg–Kiel. Für eine Fahrt stehen noch 5 Palettenstellplätze zur Verfügung; die Zuladung darf 9 Tonnen nicht überschreiten. Über eine Frachtbörse erhält er zwei Auftragsangebote.

Fragestellung

Wie viele Paletten je Angebot maximieren seine Erlöse ($F$)?

Die Daten

Auftrag	Stückerlös	Paletten	Tonnen
1	20	1	1
2	30	1	3
LKW-Kapazität		5	9

Gesucht: die erlösmaximale Übernahme an Aufträgen.

Gleich ausprobieren

Auf der nächsten Folie beladen Sie den LKW selbst, am Handy über den QR-Code. Wie viel Erlös holen Sie heraus?

Sie sind dran

Warum grafisch lösen?

Im Spiel haben Sie Paletten ausprobiert. Jetzt lösen wir dasselbe Problem grafisch.

Idee

Bei zwei Entscheidungsvariablen können wir jede zulässige Lösung als Punkt in der Ebene zeichnen. Die Zielfunktion wird zu einer Geraden, die wir so weit wie möglich in Richtung besserer Werte verschieben.

Das gibt uns ein Gefühl dafür, warum die optimale Lösung an einer Ecke des zulässigen Bereichs liegt, bevor wir später rechnerisch (Simplex) vorgehen.

Zielfunktion

Entscheidungsvariablen

• $X_1$: Abnahmemenge gemäß Auftrag 1
• $X_2$: Abnahmemenge gemäß Auftrag 2
• $F$: Erlöse in EUR

$$\text{maximiere } F(X_1, X_2) = 20\,X_1 + 30\,X_2$$

Zielfunktionsgerade für $F = 60$

Wir geben einen Zielwert vor, z. B. $F = 60$:

$$60 = 20\,X_1 + 30\,X_2$$ $$\Rightarrow\; X_2 = 2 - \tfrac{2}{3}\,X_1$$

• $X_1 = 0 \Rightarrow X_2 = 2$
• $X_2 = 0 \Rightarrow X_1 = 3$

Jeder Punkt liefert denselben Erlös.

Zielgerade verschieben

Erhöhen wir den Zielwert auf $F = 90$:

$$90 = 20\,X_1 + 30\,X_2$$ $$\Rightarrow\; X_2 = 3 - \tfrac{2}{3}\,X_1$$

• $X_1 = 0 \Rightarrow X_2 = 3$
• $X_2 = 0 \Rightarrow X_1 = 4{,}5$

Die Gerade wandert parallel nach rechts oben.

Nebenbedingung: Paletten

Je Abnahmemenge eine Palette, höchstens 5:

$$X_1 + X_2 \le 5$$

Grenzgerade $X_2 = 5 - X_1$:

• $X_1 = 0 \Rightarrow X_2 = 5$
• $X_2 = 0 \Rightarrow X_1 = 5$
• zulässig: auf oder unterhalb

Nebenbedingung: Ladegewicht

Auftrag 1 wiegt 1 t, Auftrag 2 wiegt 3 t, höchstens 9 t:

$$X_1 + 3\,X_2 \le 9$$

Grenzgerade $X_2 = 3 - \tfrac{1}{3}\,X_1$:

• $X_1 = 0 \Rightarrow X_2 = 3$
• $X_2 = 0 \Rightarrow X_1 = 9$

Der zulässige Bereich

Beide Restriktionen gleichzeitig erfüllt (und $X_1, X_2 \ge 0$):

$$\begin{aligned} X_1 + X_2 &\le 5 \\ X_1 + 3\,X_2 &\le 9 \end{aligned}$$

Die Schnittmenge bildet den konvexen Lösungsraum.

Frage: Wo in dieser Fläche liegt der beste Punkt?

Optimum grafisch bestimmen

Gerade parallel schieben, solange sie den Bereich berührt.

$F = 60 \to 90$: die Gerade wandert nach außen.

$F = 120$: nur der Eckpunkt $(3, 2)$ bleibt.

Die optimale Lösung

$$\begin{aligned} X_1^* &= 3 \\ X_2^* &= 2 \\ F^* &= 20\cdot 3 + 30\cdot 2 \\ &= 120 \end{aligned}$$

Ergebnis

Der maximale Erlös beträgt 120 EUR.

Überprüfung der Lösung

Optimalwerte $X_1^* = 3$, $X_2^* = 2$:

$$\begin{aligned} \text{Paletten:} \quad & 3 + 2 = 5 \le 5 \;\checkmark \\ \text{Gewicht:} \quad & 3 + 3\cdot 2 = 9 \le 9 \;\checkmark \end{aligned}$$

Beide Restriktionen sind mit Gleichheit erfüllt. Das Optimum liegt im Schnittpunkt der beiden Grenzgeraden.

Optimum an einer Ecke

Eckpunktsatz (anschaulich)

Besitzt ein lineares Optimierungsproblem eine optimale Lösung, so wird sie stets in mindestens einem Eckpunkt des konvexen Lösungsraums angenommen.

• Die Zielgerade wird verschoben, bis sie den Bereich zuletzt in einer Ecke (oder entlang einer Kante) berührt.
• Klassische Verfahren suchen daher systematisch Eckpunkte ab $\Rightarrow$ Grundidee des Simplex-Algorithmus (Vorlesung 02).

Kurz gefragt

Frage: Und bei einer Minimierung?

Dieselbe Idee: die Zielgerade wandert in die andere Richtung, bis sie den Bereich zuletzt berührt: wieder ein Eckpunkt.

Exkurs: Ganzzahligkeit

Sinnvoll sind nur ganzzahlige Palettenmengen. Eigentlich müsste zusätzlich $X_1, X_2 \in \mathbb{Z}$ gefordert werden.

Das Optimum ist der Schnittpunkt der beiden bindenden Nebenbedingungen:

$$\left. \begin{aligned} X_1 + X_2 &= 5 \\ X_1 + 3\,X_2 &= 9 \end{aligned} \right\} \;\Rightarrow\; 2\,X_2 = 4 \;\Rightarrow\; X_2 = 2,\; X_1 = 3$$

Dass dieser Schnittpunkt zufällig ganzzahlig ist, ist ein Glücksfall. Im Allgemeinen ist Ganzzahligkeit nicht garantiert (→ Vorlesung 08).

Formalisierung als LOP

$$\begin{aligned} \text{maximiere } \; & F(X_1, X_2) = 20\,X_1 + 30\,X_2 \\ \text{u.d.N.} \quad & X_1 + X_2 \le 5 \\ & X_1 + 3\,X_2 \le 9 \\ & X_1, X_2 \ge 0 \end{aligned}$$

Freie Variablen

Darf eine Variable auch negativ sein, ersetzt man sie durch $X_j = X_j^{+} - X_j^{-}$ mit $X_j^{+}, X_j^{-} \ge 0$.

Zum Gleichungssystem

Frage: Wie wird aus einer Ungleichung eine Gleichung?

Wir ergänzen Schlupfvariablen $Y_1, Y_2 \ge 0$:

• $X_1 + X_2 \le 5 \;\Rightarrow\; X_1 + X_2 + Y_1 = 5$
• $X_1 + 3X_2 \le 9 \;\Rightarrow\; X_1 + 3X_2 + Y_2 = 9$
• Zielfunktion: $-20\,X_1 - 30\,X_2 + F = 0$

Eine Schlupfvariable erfasst den nicht genutzten Rest einer Restriktion.

Und bei $\ge$?

Dann wird $Y$ abgezogen (Überschuss): $X_1 + X_2 \ge 2 \;\Rightarrow\; X_1 + X_2 - Y_3 = 2$.

LOP und Gleichungssystem

Lineares Optimierungsproblem

$$\begin{aligned} \max \; & 20 X_1 + 30 X_2 \\ & X_1 + X_2 \le 5 \\ & X_1 + 3 X_2 \le 9 \\ & X_1, X_2 \ge 0 \end{aligned}$$

Gleichungssystem

$$\begin{aligned} X_1 + X_2 + Y_1 &= 5 \\ X_1 + 3 X_2 + Y_2 &= 9 \\ -20 X_1 - 30 X_2 + F &= 0 \end{aligned}$$

Das Gleichungssystem ist die Grundlage des Simplex-Algorithmus (Vorlesung 02).

Lösung mit Julia

Modellierung mit JuMP

Dasselbe Problem, gelöst mit Julia, JuMP und HiGHS:

using JuMP, HiGHS

modell = Model(HiGHS.Optimizer)
set_silent(modell)

@variable(modell, X1 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 1
@variable(modell, X2 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 2

@objective(modell, Max, 20X1 + 30X2)     # Umsatzerlöse in EUR

@constraint(modell, Paletten, X1 + X2 <= 5)     # max. 5 Paletten
@constraint(modell, Gewicht,  X1 + 3X2 <= 9)    # max. 9 Tonnen

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 120.0 mit X1 = 3.0, X2 = 2.0

Ergebnis

Die Zelle liefert die bereits grafisch bestimmte Lösung:

Optimale Lösung

$$F^* = 120, \quad X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2$$

So können Sie Ihre Handrechnungen jederzeit überprüfen, mehr dazu im Abschnitt Julia.

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• Ein LOP hat eine lineare Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen.
• Bei zwei Variablen lösen wir grafisch; das Optimum liegt an einer Ecke.
• Schlupfvariablen ergeben das Gleichungssystem: Basis für den Simplex.
• Mit Julia/JuMP lösen wir dasselbe Modell rechnerisch.

Literatur

Literaturverzeichnis

Desrosiers, Jacques, Arielle Lasry, Daniel McInnis, Marius M. Solomon, und François Soumis. 2000. „Air Transat Uses ALTITUDE to Manage Its Aircraft Routing, Crew Pairing, and Work Assignment“. Interfaces 30 (2): 41–53. https://doi.org/10.1287/inte.30.2.41.11673.

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.

Haase, Knut, Habib Zain Al Abideen, Salim Al-Bosta, u. a. 2016. „Improving Pilgrim Safety During the Hajj: An Analytical and Operational Research Approach“. Interfaces 46 (1): 74–90. https://doi.org/10.1287/inte.2015.0833.

Haase, Knut, Jörg Latteier, und Andreas Schirmer. 1999. „Course Planning at Lufthansa Technical Training: Constructing More Profitable Schedules“. Interfaces 29 (5): 95–109. https://doi.org/10.1287/inte.29.5.95.

Literaturverzeichnis (2/3)

Jütte, Silke, Marc Albers, Ulrich W. Thonemann, und Knut Haase. 2011. „Optimizing Railway Crew Scheduling at DB Schenker“. Interfaces 41 (2): 109–22. https://doi.org/10.1287/inte.1100.0549.

Mickein, Markus, Matthes Koch, und Knut Haase. 2022. „A Decision Support System for Brewery Production Planning at Feldschlösschen“. INFORMS Journal on Applied Analytics 52 (2): 158–72. https://doi.org/10.1287/inte.2021.1101.

Thomas, Bex George, Srinivas Bollapragada, Kunter Akbay, u. a. 2013. „Automated Bed Assignments in a Complex and Dynamic Hospital Environment“. Interfaces 43 (5): 435–48. https://doi.org/10.1287/inte.2013.0701.

Trick, Michael A., Hakan Yildiz, und Tallys Yunes. 2012. „Scheduling Major League Baseball Umpires and the Traveling Umpire Problem“. Interfaces 42 (3): 232–44. https://doi.org/10.1287/inte.1100.0514.

Literaturverzeichnis (3/3)

Vlćek, Tobias, Knut Haase, Malte Fliedner, und Tobias Cors. 2024. „Police Service District Planning“. OR Spectrum 46 (4): 1029–61. https://doi.org/10.1007/s00291-024-00745-3.

Vlćek, Tobias, Knut Haase, Matthes Koch, Lena Dolz, Anneke Weygandt, und Jan Pape. 2023. „Controlling Passenger Flows into Metro Systems to Mitigate Overcrowding During Large-Scale Events“. Working Paper.

Westphal, Stephan. 2014. „Scheduling the German Basketball League“. Interfaces 44 (5): 498–508. https://doi.org/10.1287/inte.2014.0764.