Vorlesung 02: Primaler Simplex

Grundlagen Operations Research

Motivation

Wenn Zeichnen nicht reicht

Grafisch lösen wir nur zwei Variablen.

Reale Optimierungsprobleme (Zuströme in U-Bahnhöfe, Pilgerströme, Losgrößen) haben Tausende Variablen und Nebenbedingungen. Dafür brauchen wir ein systematisches, rechnerisches Verfahren: den Simplex-Algorithmus.

Wiederholung

Das Einführungsbeispiel

$$\begin{aligned} \max \; & F = 20 X_1 + 30 X_2 \\ & X_1 + X_2 \le 5 \\ & X_1 + 3 X_2 \le 9 \\ & X_1, X_2 \ge 0 \end{aligned}$$

Grafisch bestimmtes Optimum

$$X_1^* = 3, \; X_2^* = 2, \; F^* = 120$$

Heute: rechnerisch statt grafisch.

Das Gleichungssystem

Mit Schlupfvariablen $Y_1, Y_2 \ge 0$:

$$\begin{aligned} X_1 + X_2 + Y_1 &= 5 \\ X_1 + 3 X_2 + Y_2 &= 9 \\ -20 X_1 - 30 X_2 + F &= 0 \end{aligned}$$

Drei Gleichungen, fünf Variablen: zwei Variablen sind frei wählbar.

Iteratives Lösen

Vom Ausprobieren zum System

Idee

Wir starten in einer Ecke des Lösungsraums und wandern gezielt zu einer benachbarten Ecke mit besserem Zielfunktionswert, bis keine Verbesserung mehr möglich ist.

Jede Ecke entspricht einer Basislösung: wir lösen das Gleichungssystem nach drei Basisvariablen auf; die übrigen zwei sind null.

Erste Basislösung

Setze $X_1 = X_2 = 0$ (Nichtbasisvariablen). Dann folgt unmittelbar:

$$Y_1 = 5, \quad Y_2 = 9, \quad F = 0$$

• Basisvariablen (BV $\ge 0$): $Y_1, Y_2, F$
• Nichtbasisvariablen (NBV $= 0$): $X_1, X_2$

Eine zulässige, aber noch nicht optimale Basislösung.

Eine bessere Basislösung?

Frage: Welche Variable soll in die Basis aufgenommen werden?

Aus der Zielfunktion $F = 20 X_1 + 30 X_2$:

$$\Delta X_1 = 1 \Rightarrow \Delta F = 20, \qquad \Delta X_2 = 1 \Rightarrow \Delta F = 30$$

$X_2$ steigert den Zielwert pro Einheit am stärksten.

$\Rightarrow$ $X_2$ in die Basis aufnehmen

Wie groß darf $X_2$ werden?

Bei $X_1 = 0$ gilt:

$$Y_1 = 5 - X_2, \qquad Y_2 = 9 - 3 X_2$$

Frage: Wie weit dürfen wir $X_2$ erhöhen, und wer verlässt dafür die Basis?

Verlässt $Y_1$ die Basis ($Y_1 = 0 \Rightarrow X_2 = 5$), wird $Y_2 = 9 - 15 = -6 < 0$: unzulässig.

Verlässt $Y_2$ die Basis ($Y_2 = 0 \Rightarrow X_2 = 3$), bleibt $Y_1 = 5 - 3 = 2 \ge 0$: zulässig.

Elementaroperationen

Um die neue Basislösung abzulesen, isolieren wir die Basisvariablen (jede nur noch in einer Gleichung):

• Multiplikation einer Gleichung mit einem Wert $\neq 0$
• Addition/Subtraktion einer Gleichung zu einer anderen

$\Rightarrow$ Der Informationsgehalt des Gleichungssystems bleibt erhalten.

Der Basistausch im Detail

Ziel: $X_2$ isolieren, nur noch in der zweiten Gleichung.

$$\begin{aligned} X_1 + X_2 + Y_1 &= 5 \\ \mathbf{X_1 + 3 X_2 + Y_2} &\;\mathbf{= 9} \\ -20 X_1 - 30 X_2 + F &= 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} X_1 + X_2 + Y_1 &= 5 \\ \mathbf{\tfrac{1}{3} X_1 + X_2 + \tfrac{1}{3} Y_2} &\;\mathbf{= 3} \\ -20 X_1 - 30 X_2 + F &= 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathbf{\tfrac{2}{3} X_1 + Y_1 - \tfrac{1}{3} Y_2} &\;\mathbf{= 2} \\ \tfrac{1}{3} X_1 + X_2 + \tfrac{1}{3} Y_2 &= 3 \\ -20 X_1 - 30 X_2 + F &= 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \tfrac{2}{3} X_1 + Y_1 - \tfrac{1}{3} Y_2 &= 2 \\ \tfrac{1}{3} X_1 + X_2 + \tfrac{1}{3} Y_2 &= 3 \\ \mathbf{-10 X_1 + 10 Y_2 + F} &\;\mathbf{= 90} \end{aligned}$$

Die zweite Gleichung enthält $Y_2$. Hier wird $X_2$ isoliert.

Multiplikation der zweiten Gleichung mit $\tfrac{1}{3}$: der Koeffizient von $X_2$ wird $1$.

Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung: $X_2$ verschwindet aus Gleichung 1.

Addition des 30-fachen der zweiten Gleichung zur Zielfunktionszeile. Ablesbar: $Y_1 = 2$, $X_2 = 3$, $F = 90$.

Geht es noch besser?

Die Zielfunktionszeile lautet umgestellt:

$$F = 90 + 10 X_1 - 10 Y_2$$

Frage: Sehen Sie noch Verbesserungspotenzial?

Eine Erhöhung von $X_1$ steigert $F$ weiter.

$\Rightarrow$ $X_1$ in die Basis aufnehmen; der minimale Quotient $\min\{2/\tfrac{2}{3},\, 3/\tfrac{1}{3}\} = 3$ zeigt: $Y_1$ verlässt die Basis (diese Minimalquotientenregel führen wir gleich im Tableau formal ein).

Der zweite Basistausch

Gleiches Vorgehen, jetzt für $X_1$ statt $Y_1$:

$$\begin{aligned} \mathbf{\tfrac{2}{3} X_1 + Y_1 - \tfrac{1}{3} Y_2} &\;\mathbf{= 2} \\ \tfrac{1}{3} X_1 + X_2 + \tfrac{1}{3} Y_2 &= 3 \\ -10 X_1 + 10 Y_2 + F &= 90 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathbf{X_1 + \tfrac{3}{2} Y_1 - \tfrac{1}{2} Y_2} &\;\mathbf{= 3} \\ \tfrac{1}{3} X_1 + X_2 + \tfrac{1}{3} Y_2 &= 3 \\ -10 X_1 + 10 Y_2 + F &= 90 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} X_1 + \tfrac{3}{2} Y_1 - \tfrac{1}{2} Y_2 &= 3 \\ \mathbf{X_2 - \tfrac{1}{2} Y_1 + \tfrac{1}{2} Y_2} &\;\mathbf{= 2} \\ \mathbf{15 Y_1 + 5 Y_2 + F} &\;\mathbf{= 120} \end{aligned}$$

$X_1$ wird in der ersten Gleichung isoliert ($Y_1$ verlässt die Basis).

Multiplikation der ersten Gleichung mit $\tfrac{3}{2}$.

Subtraktion des $\tfrac{1}{3}$-fachen der ersten von der zweiten Gleichung, Addition des 10-fachen zur Zielfunktionszeile.

Optimale Basislösung

Nach dem zweiten Basistausch ($X_1 \leftrightarrow Y_1$):

$$\begin{aligned} X_1 + \tfrac{3}{2} Y_1 - \tfrac{1}{2} Y_2 &= 3 \\ X_2 - \tfrac{1}{2} Y_1 + \tfrac{1}{2} Y_2 &= 2 \\ 15 Y_1 + 5 Y_2 + F &= 120 \end{aligned}$$

Wegen $F = 120 - 15 Y_1 - 5 Y_2$ verschlechtert jede Erhöhung von $Y_1, Y_2$ den Wert.

Optimale Lösung

$$X_1^* = 3, \quad X_2^* = 2, \quad F^* = 120$$

Basislösung ↔︎ Eckpunkt

Jeder Basistausch führt zu einem benachbarten Eckpunkt des Lösungsraums.

Erste Analysen

Simplex-Multiplikatoren

Vergleich der Zielfunktionszeile (Ausgangssystem → Optimalsystem $15 Y_1 + 5 Y_2 + F = 120$):

• 15-faches der 1. Gleichung zur Zielfunktion addiert,
• 5-faches der 2. Gleichung zur Zielfunktion addiert.

$$F = 15 \cdot 5 + 5 \cdot 9 = 120 \quad\Rightarrow\quad F = \sum_i \pi_i\, b_i$$

Die $\pi_i$ heißen Simplex-Multiplikatoren (Dualwerte).

Weitere Zusammenhänge

Nicht nur die Zielfunktionszeile: jede Gleichung des Optimalsystems ist eine Linearkombination der Ausgangsgleichungen.

Die erste Optimalgleichung: $\tfrac{3}{2} \times$ 1. Gleichung $-\; \tfrac{1}{2} \times$ 2. Gleichung. Probe auf der rechten Seite:

$$\tfrac{3}{2} \cdot 5 - \tfrac{1}{2} \cdot 9 = \tfrac{15}{2} - \tfrac{9}{2} = 3 \;✓$$

Solche Rekonstruktionen nutzen wir ab Vorlesung 3 zur Interpretation optimaler Lösungen und zur Bewertung neuer Alternativen.

Das Simplextableau

Der Algorithmus im Tableau

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$b$
$Y_1$	1	1	1	0	5
$Y_2$	1	3	0	1	9
$F$	−20	−30	0	0	0

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$b$
$Y_1$	2/3	0	1	−1/3	2
$X_2$	1/3	1	0	1/3	3
$F$	−10	0	0	10	90

BV	$X_1$	$X_2$	$Y_1$	$Y_2$	$b$
$X_1$	1	0	3/2	−1/2	3
$X_2$	0	1	−1/2	1/2	2
$F$	0	0	15	5	120

Pivotspalte $X_2$ ($-30$), Pivotzeile $Y_2$ ($\min\{5/1, 9/3\}=3$), Pivotelement $[3]$.

Neue Pivotspalte $X_1$ ($-10$), Pivotzeile $Y_1$, Pivotelement $[2/3]$; $F = 90$.

Alle Werte der $F$-Zeile $\ge 0$ $\Rightarrow$ optimal, $F^* = 120$.

Unbeschränkte Lösung

Angenommen, in einem anderen Problem gilt für die aufzunehmende Variable $X_3$ nur die Beziehung $Y_3 - 4 X_3 = 8$, also $Y_3 = 8 + 4 X_3$.

Eine Erhöhung von $X_3$ hält $Y_3 \ge 0$ stets ein: kein Quotient begrenzt sie.

$\Rightarrow$ Sind alle Koeffizienten der Pivotspalte $\le 0$, ist die Lösung unbeschränkt.

Verallgemeinertes Tableau

BV	$X_1$	$\dots$	$b$
$\vdots$	$\bar a_{ij}$		$\bar b_i$
$F$	$-\bar c_j$		$f$

• $\bar a_{ij}$: aktueller Koeffizient in Zeile $i$, Spalte $j$
• $\bar b_i$: aktueller Wert der $b$-Spalte
• $-\bar c_j$: aktueller Wert der $F$-Zeile
• Ausgangstableau: $\bar a_{ij} = a_{ij}$, $\bar b_i = b_i$, $\bar c_j = c_j$

Der Simplex-Algorithmus

Ziel: optimale Basislösung eines Maximierungs-LOP.

1. Pivotspalte $t$: kleinster negativer Wert der $F$-Zeile, $\min_{-\bar c_j < 0}\{-\bar c_j\}$. Keiner negativ $\Rightarrow$ optimal.
2. Pivotzeile $s$: kleinster Quotient $\min_{\bar a_{it} > 0}\{\bar b_i / \bar a_{it}\}$.
3. Elementaroperationen: Einheitsvektor in der Pivotspalte erzeugen. Weiter mit 1.

Kontrolle mit Julia

Dasselbe Optimum mit JuMP

using JuMP, HiGHS

modell = Model(HiGHS.Optimizer)
set_silent(modell)

@variable(modell, X1 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 1
@variable(modell, X2 >= 0)   # Abnahmemenge Auftrag 2

@objective(modell, Max, 20X1 + 30X2)     # Umsatzerlöse in EUR

@constraint(modell, Paletten, X1 + X2 <= 5)     # max. 5 Paletten
@constraint(modell, Gewicht,  X1 + 3X2 <= 9)    # max. 9 Tonnen

optimize!(modell)
println("F* = ", objective_value(modell),
        " mit X1 = ", value(X1), ", X2 = ", value(X2))

F* = 120.0 mit X1 = 3.0, X2 = 2.0

Zusammenfassung

Das Wichtigste auf einen Blick

• Der Simplex wandert von Ecke zu Ecke (Basistausch) zu besseren Werten.
• Pivotspalte = beste neue BV, Pivotzeile = kleinster Quotient.
• Abbruch, wenn die $F$-Zeile keine negativen Werte mehr enthält.
• Die Simplex-Multiplikatoren liefern $F = \sum_i \pi_i b_i$.

Literatur

Literaturverzeichnis

Domschke, Wolfgang, Andreas Drexl, Robert Klein, und Armin Scholl. 2015. Einführung in Operations Research. 9. Aufl. Springer Gabler. https://doi.org/10.1007/978-3-662-48216-2.